Câu hỏi:

04/07/2024 246

Gọi d là đường thẳng đi qua A(2;0) có hệ số góc m (m>0) cắt đồ thị $(C) : y = - x^{3} + 6 x^{2} - 9 x + 1$ tại ba điểm phân biệt A,B,C. Gọi B', C' lần lượt là hình chiếu vuông góc của B,C lên trục tung. Biết rằng hình thang BB'C'C có diện tích bằng 8, giá trị của M thuộc khoảng nào sau đây?

A. (5;8)

B. (-5;0)

C. (0;2)

D. (1;5)

Đáp án chính xác

Xem lời giải

Bắt Đầu Thi Thử

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Chọn D.
Cách 1:
Phương trình đường thẳng (d) có hệ số góc m và đi qua A(2;0) là y=mx-2m
Hoành độ giao điểm của (d) và (C) là nghiệm của phương trình:
$- x^{3} + 6 x^{2} - 9 x + 2 = m (x - 1) \Leftrightarrow (x - 2) (x^{2} - 4 x + m + 1) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 2 \\ x^{2} - 4 x + m + 1 = 0 (1) \end{array}$
$x = 2 \Rightarrow y = 0 \Rightarrow A (2; 0) .$ Do đó: (C) cắt (d) tại 3 điểm phân biệt
$\Leftrightarrow$ phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt $x_{1}; x_{2}$ khác $2 \Leftrightarrow \{\begin{cases} Δ' = 3 - m > 0 \\ 2^{2} - 4.2 + m + 1 \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} - m > - 3 \\ m - 3 \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} m < 3 \\ m \neq 3 \end{cases} \Leftrightarrow m < 3$
Theo định lí Vi-et: $\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = 4 \\ x_{1} x_{2} = m + 1 \end{cases},$ mà $m > 0 \Rightarrow m + 1 > 0 \Rightarrow \{\begin{cases} x_{1} + x_{2} > 0 \\ x_{1} . x_{2} > 0 \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} x_{1} > 0 \\ x_{2} > 0 \end{cases}$
Giả sử $B (x_{1}; m x_{1} - 2 m)$ và $C (x_{2}; m x_{2} - 2 m) \Rightarrow B' (0; m x_{1} - 2 m)$ và $C' (0; m x_{2} - 2 m) .$
$\Rightarrow B' C' = |m (x_{1} - x_{2})| = m |x_{1} - x_{2}|; B B' = |x_{1}| = x_{1}; C C' = |x_{2}| = x_{2}$
Ta có:
$S_{B B' C' C} = \frac{1}{2} B' C' (B B' + C C') = 8 \Leftrightarrow B' C' (B B' + C C') = 16 \Leftrightarrow m |x_{1} - x_{2}| (x_{1} + x_{2}) = 16 \Leftrightarrow m |x_{1} - x_{2}| = 4 \Leftrightarrow m^{2} {(x_{1} - x_{2})}^{2} = 16 \Leftrightarrow m^{2} [{(x_{1} + x_{2})}^{2} - 4 x_{1} x_{2}] = 16 \Leftrightarrow m^{2} (16 - 4 m - 4) = 16$
$\Leftrightarrow m^{3} - 3 m^{2} + 4 = 0 \Leftrightarrow (m + 1) {(m - 2)}^{2} = 0 \Leftrightarrow m = - 1$ hoặc m=2
Vì $0 < m < 3 \Rightarrow m = 2 \Rightarrow m \in (1; 5) .$
Cách 2:
Phương trình đường thẳng (d) có hệ số góc m và đi qua A(2;0) và y=m(x-2)
Xét hàm số $y = f (x) = - x^{3} + 6 x^{2} - 9 x + 2 (C)$
TXĐ: D=R
$\Rightarrow$ Đồ thị (C) nhận điểm A(0;2) làm điểm uốn.
$\Rightarrow$ B và C đối xứng nhau qua A;B' và C' đối xứng nhau qua O
$\Rightarrow O A$ là đường trung bình của hình thang $B B' C' C \Rightarrow \frac{B B' + C C'}{2} = O A = 2$
Diện tích của hình thang BB'C'C bằng $8 \Rightarrow B' C' = 4$
Không mất tính tổng quát, giả sử $y_{B} > 0 \Rightarrow y_{B} = 2 \Rightarrow - {x_{B}}^{3} + 6 x_{B}^{2} - 9 x_{B} + 2 = 2 \Rightarrow [\begin{array}{l} x_{B} = 0 \\ x_{B} = 3 \end{array}$
+ $x_{B} = 0 \Rightarrow B (0; 2) \Rightarrow (d)$ có phương trình $y = - x + 2 \Rightarrow m = - 1 < 0$ (loại).
+ $x_{B} = 3 \Rightarrow B (3; 2) \Rightarrow (d)$ có phương trình $y = 2 x - 4 \Rightarrow m = 2$ (thỏa mãn).
Vậy giá trị của m thuộc khoảng (1;5)

Gói VIP thi online tại VietJack (chỉ 400k/1 năm học), luyện tập gần 1 triệu câu hỏi có đáp án chi tiết

ĐĂNG KÝ VIP

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Cho hàm số bậc ba y=f(x) có đồ thị là đường cong trong hình bên. Số nghiệm thực của phương trình f(x)=3 là

Xem đáp án » 12/05/2022 2,238

Câu 2:

Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên dương của m để hàm số $y = x^{3} - 3 (2 m + 1) x^{2} + (12 m + 5) x + 2$ đồng biến trên khoảng $(2; + \infty) .$ Số phần tử của S bằng

Xem đáp án » 12/05/2022 1,747

Câu 3:

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và AB=a. Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính thể tích V của khối chóp S.ABC.

Xem đáp án » 12/05/2022 1,222

Câu 4:

Cho hàm số $y = x^{3} + 3 x^{2} + 1$ có đồ thị (C) và điểm A(1;m). Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m để qua A có thể kể được đúng ba tiếp tuyến tới đồ thị (C). Số phần tử của S là

Xem đáp án » 12/05/2022 918

Câu 5:

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA=a. Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng đáy bằng

Xem đáp án » 12/05/2022 802

Câu 6:

Một loại thuốc được dùng cho một bệnh nhân và nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân được giám sát bởi bác sĩ. Biết rằng nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân sau khi tiêm vào cơ thể trong t giờ được cho bởi công thức $c (t) = \frac{t}{t^{2} + 1} (m g / L) .$ Sau khi tiêm thuốc bao lâu thì nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân cao nhất?

Xem đáp án » 12/05/2022 799

Câu 7:

Một cấp số cộng có $u_{1} = - 3, u_{8} = 39 .$ Công sai của cấp số cộng đó là

Xem đáp án » 12/05/2022 734

Câu 8:

Số cạnh của hình mười hai mặt đều là

Xem đáp án » 12/05/2022 730

Câu 9:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA=3a. Mặt phẳng (P) chứa cạnh BC và cắt hình chóp S.ABCD theo thiết diện là một tứ giác có diện tích $\frac{2 \sqrt{5} a^{2}}{3} .$ Tính khoảng cách giữa đường thẳng AD và mặt phẳng (P)

Xem đáp án » 12/05/2022 730

Câu 10:

Cho hình chóp S.ABC có SA=SB=SC=3, tam giác ABC vuông cân tại B và $A C = 2 \sqrt{2} .$ Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AC và BC. Trên hai cạnh SA,SB lấy các điểm P,Q tương ứng sao cho SP=1, SQ=2. Tính thể tích V của tứ diện MNPQ

Xem đáp án » 12/05/2022 647

Câu 11:

Biết $\log_{a} b = 2, \log_{a} c = 3;$ với $a, b, c > 0; a \neq 1 .$ Khi đó giá trị của $\log_{a} (\frac{a^{2} \sqrt[3]{b}}{c})$ bằng

Xem đáp án » 12/05/2022 620

Câu 12:

Đường cong ở hình bên là đồ thị của hàm số $y = \frac{a x + b}{c x + d}$ với a,b,c,d là các số thực. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Xem đáp án » 12/05/2022 575

Câu 13:

Biết $9^{x} + 9^{- x} = 23,$ tính giá trị của biểu thức $P = 3^{x} + 3^{- x} .$

Xem đáp án » 12/05/2022 549

Câu 14:

Hình chóp tứ giác đều có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng?

Xem đáp án » 12/05/2022 548

Câu 15:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA=a. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và CD.