Cho hàm số f(x) liên tục và có đạo hàm trên $\left(0;\frac{\pi }{2}\right)$, thỏa mãn hệ thức $f\left(x\right)+\tan x.f\text{'}\left(x\right)=\frac{x}{{\cos }^{3}x}$. Biết rằng $\sqrt{3}f\left(\frac{\pi }{3}\right)-f\left(\frac{\pi }{6}\right)=a\pi \sqrt{3}+b\ln 3$ trong đó $a,b\in \mathbb{Q}$. Tính giá trị của biểu thức P=a+b.

Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng a, góc giữa mặt phẳng (A’BC) và mặt phẳng (ABC) bằng 45^o. Thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ bằng:

Cho hàm số y = f(x) liên tục và xác định trên R và có đồ thị như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để bất phương trình ${3.12}^{f\left(x\right)}+\left[f^2\left(x\right)-1\right]{.16}^{f\left(x\right)}\ge \left(m^2+3m\right){.3}^{2f\left(x\right)}$ có nghiệm với mọi x?

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân có AB=BC=a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy, $\widehat{SBA}=60°$. Gọi M là điểm nằm trên AC sao cho $\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{CM}$. Tính khoảng cách giữa SM và AB.

Cho phương trình ${\log }_3^{2}x-{\log }_{3}x+m-3=0$. Tìm tất cả các giá trị nguyên của tham số m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt $x_1<x_2$ thỏa mãn $x_2-81x_1<0$. 

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, $AB=2a,AD=a\sqrt{3}$, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa SD và mặt phẳng đáy là 30^o. Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Hai mặt bên (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với đáy và $SB=a\sqrt{3}$. Tính thể tích khối chóp S.ABC.

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABC) là một điểm nằm trên đoạn thẳng BC. Mặt phẳng (SAB) tạo với (SBC) một góc 60^o và mặt phẳng (SAC) tạo với (SBC) một góc j thỏa mãn $\cos \phi =\frac{\sqrt{2}}{4}$. Gọi α là góc tạo bởi SA và mặt phẳng (ABC). Tính tanα.

Cho hai hàm số f(x) = ax⁴+bx³+cx²+dx+e với a≠0 và g(x) = px²+qx-3 có đồ thị như hình vẽ. Đồ thị hàm số y=f(x) đi qua gốc tọa độ và cắt đồ thị hàm số y=g(x) tại bốn điểm có hoành độ lần lượt là -2;-1;1;m. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y=f(x)-g(x) tại điểm có hoành độ x=-2 có hệ số góc bằng $-\frac{15}{2}$. Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số (P): 2x và y=g(x) (phần được tô đậm như hình vẽ). Diện tích của hình (H) bằng.

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R sao cho $\underset{x\in \left[0;10\right]}{\max }f\left(x\right)=f\left(2\right)=4$. Xét hàm số $g\left(x\right)=f\left(x^3+x\right)-x^2+2x+m$. Giá trị của tham số m để $\underset{x\in \left[0;2\right]}{\max }g\left(x\right)=8$ là:

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R có đồ thị như hình vẽ. Biết trên $\left(-\infty ;-3\right)\cup \left(2;+\infty \right)$ thì f’(x)>0. Số nghiệm nguyên thuộc (-10;10) của bất phương trình $\left[f\left(x\right)+x-1\right]\left(x^2-x-6\right)>0$ là:

Bất phương trình ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{x^2-2x}>\frac{1}{8}$ có tập nghiệm là (a;b). Khi đó giá trị của b-a là:

Cho hình nón đỉnh S có đáy là đường tròn tâm O, bán kính R. Trên đường tròn (O) lấy hai điểm A, B sao cho tam giác OAB vuông. Biết diện tích tam giác SAB bằng $R^2\sqrt{2}$, thể tích hình nón đã cho bằng:

Cho hàm số y = f(x) thỏa mãn f(0) = 1, f’(x) liên tục trên R và $\underset{0}{\overset{3}{\int }}f\text{'}\left(x\right)dx=9$. Giá trị của f(3) là:

Cho mặt phẳng (Q): x-y+2z-2 = 0. Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q), đồng thời cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại các điểm M, N sao cho $MN=2\sqrt{2}$

Cho A(1;4;2), B(-1;2;4), đường thẳng $d:\left\{\begin{array}{l}x=5-4t\\ y=2+2t\\ z=4+t\end{array}\right.$ và điểm M thuộc d. Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giác AMB.