Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu của A' lên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm BC. Tính khoảng cách d giữa hai đường thẳng $B\text{'}C\text{'}$ và AA' biết góc giữa hai mặt phẳng $(ABB\text{'}A\text{'})$ và $\left( {A'B'C'} \right)$ bằng ${60}^0.$

Cho hai số thực dương a và b. Biểu thức $\sqrt[5]{\frac{a}{b}\sqrt[3]{\frac{b}{a}\sqrt{\frac{a}{b}}}}$ được viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ là:

Hệ số của $x^5$ trong khai triển ${(1+x)}^{12}$ là:

Cho hình hộp $ABCD.A\text{'}B\text{'}C\text{'}D\text{'}$ có thể tích bằng V. Gọi G là trọng tâm tam giác $A'BC$ và I' là trung điểm của A'D'. Thể tích khối tứ diện $GB\text{'}C\text{'}I\text{'}$ bằng:

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên R và có đồ thị hàm số $y = f'\left( x \right)$ như hình vẽ. Bất phương trình $f\left(x\right)+x^2+3<m$ có nghiệm đúng $\forall x\in (-1;1)$ khi và chỉ khi

Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có cạnh đáy bằng 2a, chiều cao cạnh bên bằng 3a.Tính thể tích V của khối chóp đã cho.

Cho hàm số $y=x^4-2x^2+1.$Tìm khẳng định đúng?

Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và $D,AB=2a,AD=DC=a,SA=a\sqrt{2},$$SA\perp \left(ABCD\right).$ Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$ và (SCD).

Gọi M,m thứ tự là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = \frac{{{x^2} + 3}}{{x - 1}}$ trên đoạn [-2;0] Tính P=M+m.

Tính thể tích của khối chóp có chiều cao h và diện tích đáy là $B$ là

Tổng tất cả các giá trị nguyên của m để hàm số $y = \frac{1}{3}{x^3} - \left( {m - 1} \right){x^2} + x - m$ đồng biến trên tập xác định bằng.

Cho hàm số y=f(x) xác định trên $\mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}$ có bảng biến thiên

Cho hàm số $f\left(a\right)=\frac{a^{\frac{-1}{3}}(\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{a^4})}{a^{\frac{1}{8}}(\sqrt[8]{a^3}-\sqrt[8]{a^{-1}})}$ với $a>\mathrm{0,}a\ne 1.$ Tính giá trị $M=f\left({2021}^{2020}\right).$

Hình chóp SABCD có đáy là hình vuông cạnh $a,SD=\frac{a\sqrt{13}}{2}.$Hình chiếu của S lên $\left(ABCD\right)$ là trung điểm H của AB .Thể tích khối chóp là

Cho hàm số y=f(x) có bảng biến thiên như sau.

Mệnh đề nào dưới đây đúng?