Cho hình chóp đều \(S.ABCD\) có cạnh đáy bằng \(a\sqrt 2 ,\) cạnh bên bằng \(2a.\) Gọi \(\alpha \) là góc tạo bởi hai mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {SCD} \right).\) Tính \(\cos \alpha .\)
A.\(\frac{{\sqrt {21} }}{2}.\)
B.\(\frac{{\sqrt {21} }}{{14}}.\)
C.\(\frac{{\sqrt {21} }}{3}.\)
D. \(\frac{{\sqrt {21} }}{7}.\)
Giải bởi Vietjack
Đáp án D.
Gọi \(H\) là hình chiếu của \(S\) trên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right).\) Hình chóp \(S.ABCD\) đều nên \(H\) là tâm hình vuông \(ABCD,\left( {SAC} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = AC\) và \(SH \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow \left( {SAC} \right) \bot \left( {ABCD} \right).\)
Ta có: \(HD \bot AC \Rightarrow HD \bot \left( {SAC} \right).\left( 1 \right)\)
Gọi \(M\) là trung điểm của \(CD,\) suy ra: \(\left\{ \begin{array}{l}CD \bot HM\\CD \bot SH\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {SHM} \right)\) mà \(CD \subset \left( {SCD} \right).\)
\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SCD} \right) \bot \left( {SHM} \right)\\\left( {SCD} \right) \cap \left( {SHM} \right) = SM\end{array} \right.\) nên từ \(H\) kẻ đường thẳng vuông góc với \(SM\) tại \(K,\) suy ra \(HK \bot \left( {SCD} \right)\left( 2 \right)\)
Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) suy ra: \(\alpha = \left( {\left( {SAC} \right),\left( {SCD} \right)} \right) = \left( {HD,HK} \right) = \widehat {KHD}.\)
Tam giác \(KHD\) vuông tại \(K\) có \(HD = \frac{1}{2}BD = \frac{1}{2}a\sqrt 2 .\sqrt 2 = a.\)
\(\frac{1}{{H{K^2}}} = \frac{1}{{H{M^2}}} + \frac{1}{{S{H^2}}} = \frac{1}{{H{M^2}}} + \frac{1}{{S{D^2} - H{D^2}}} = \frac{2}{{{a^2}}} + \frac{1}{{4{a^2} - {a^2}}} = \frac{7}{{3{a^2}}} \Rightarrow HK = \frac{{a\sqrt {21} }}{7}.\)
Vậy \(\cos \alpha = \frac{{HK}}{{HD}} = \frac{{\sqrt {21} }}{7}.\)
Gói VIP thi online tại VietJack (chỉ 400k/1 năm học), luyện tập gần 1 triệu câu hỏi có đáp án chi tiết
Cho tứ diện \(SABC\) có các cạnh \(SA,SB,SC\) đôi một vuông góc với nhau. Biết \(SA = 3a,SB = 4a,SC = 5a.\) Tính theo \(a\) thể tích \(V\) của khối tứ diện \(SABC\).
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình chữ nhật với \(AB = a,AD = 2a,SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy và \(SA = a\sqrt 3 .\) Thể tích khối chóp \(S.ABCD\) bằng
Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để hàm số \(y = \frac{m}{3}{x^3} - 2m{x^2} + \left( {3m + 5} \right)x\) đồng biến trên \(\mathbb{R}.\)
Cho hàm số \(y = f'\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ.
Hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {{x^2}} \right) - \frac{{{x^6}}}{3} + {x^4} - {x^2}\) đạt cực tiểu tại bao nhiêu điểm?
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) xác định và liên tục trên \(\mathbb{R}.\) Đồ thị hàm số \(f'\left( x \right)\) như hình vẽ dưới đây
Xét hàm số \(g\left( x \right) = f\left( x \right) - \frac{1}{3}{x^3} - \frac{3}{4}{x^2} + \frac{3}{2}x + 2019.\) Trong các mệnh đề sau:
\(\left( I \right)g\left( 0 \right) < g\left( 1 \right).\)
\(\left( {II} \right)\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 3;1} \right]} g\left( x \right) = g\left( { - 1} \right).\)
\(\left( {III} \right)\) Hàm số \(g\left( x \right)\) nghịch biến trên \(\left( { - 3; - 1} \right).\)
\(\left( {IV} \right)\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 3;1} \right]} g\left( x \right) = \mathop {\max }\limits_{\left[ { - 3;1} \right]} \left\{ {g\left( { - 3} \right);g\left( 1 \right)} \right\}.\)
Số mệnh đề đúng là
Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) có \({u_1} = 2\) và công bội \(q = 2.\) Tính \({u_3}?\)
Cho hai dãy ghế đối diện nhau mỗi dãy có 5 ghế. Xếp ngẫu nhiên 10 học sinh, gồm 5 nam, 5 nữ ngồi vào hai dãy ghế đó sao cho mỗi ghế có đúng một học sinh ngồi. Tính xác suất để mỗi học sinh nam đều ngồi đối diện với một học sinh nữ.
Giá trị lớn nhất của hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - 8{x^2} + 16x - 9\) trên đoạn \(\left[ {1;3} \right]\) là
Cho hàm số \(y = - {x^4} + 2{x^2}\) có đồ thị như hình vẽ.
Tìm tất cả các giá trị thực của \(m\) để phương trình \( - {x^4} + 2{x^2} = m\) có hai nghiệm phân biệt.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ { - 4;4} \right]\) và có bảng biến thiên trên đoạn \(\left[ { - 4;4} \right]\) như sau
![Cho hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [-4;4] và có bảng biến thiên trên đoạn [-4;4] như sau. Phát biểu nào sau đây đúng? (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/images/1651165933/1651166122-image8.png)
Phát biểu nào sau đây đúng?
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành và có thể tích \(V.\) Gọi \(E\) là điểm trên cạnh \(SC\) sao cho \(EC = 2ES.\) Gọi \(\left( \alpha \right)\) là mặt phẳng chứa đường thẳng \(AE\) và song song với đường thẳng \(BD,\left( \alpha \right)\) cắt hai cạnh \(SB,SD\) lần lượt tại \(M,N.\) Tính theo \(V\) thể tích khối chóp \(S.AMEN.\)
Tìm hệ số \(h\) của số hạng chứa \({x^5}\) trong khai triển \({\left( {{x^2} + \frac{2}{x}} \right)^7}?\)
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau
Biết giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số lần lượt là \(M,m.\) Giá trị biểu thức \(P = {M^2} + {m^2}\) bằng
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(a,SA \bot \left( {ABC} \right),\) góc giữa đường thẳng \(SB\) và mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) bằng \({60^0}.\) Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AC\) và \(SB\) bằng:
