Câu hỏi:

15/07/2024 74

Trong không gian Oxyz, cho hình nón có đỉnh I thuộc mặt phẳng $(P) : 2 x - y - 2 z - 7 = 0$ và hình tròn đáy nằm trên mặt phẳng $(R) : 2 x - y - 2 z + 8 = 0$ . Mặt phẳng (Q) đi qua điểm $A (0; - 2; 0)$ và vuông góc với trục của hình nón chia hình nón thành hai phần có thể tích lần lượt là $V_{1}$ và $V_{2}$ ( $V_{1}$ là thể tích của hình nón chứa đỉnh I ). Biết bằng biểu thức $S = V_{2} + \frac{78}{V_{1}^{3}}$ đạt giá trị nhỏ nhất khi $V_{1} = a$ , $V_{2} = b$ . Khi đó tổng $a^{2} + b^{2}$ bằng

A. $52 \sqrt{3} π^{2}$

B. $377 \sqrt{3}$

C. 2031

Đáp án chính xác

D. $2031 π^{2}$

Xem lời giải

Bắt Đầu Thi Thử

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Dễ thấy $(P) // (R)$ , gọi O là tâm của đường tròn đáy hình nón, $O^{'} = I O \cap (Q)$ , từ giả thiết ta có
$I O^{'} = d (A, (P)) = \frac{5}{3}$ ; $O O^{'} = d (A, (R)) = \frac{10}{3}$ suy ra $O O^{'} = 2 I O^{'}$ .
Gọi M là điểm thuộc đường tròn (O), $M^{'} = I M \cap (Q)$ , do $O^{'} M^{'} // O M$ nên $\frac{I O^{'}}{I O} = \frac{O^{'} M^{'}}{O M} = \frac{1}{3}$ .
Do đó $r_{2} = 3 r_{1}$ , (trong đó $r_{1}$ và $r_{2}$ lần lượt là bán kính của các đường tròn $(O^{'})$ và $(O)$ ). Đặt $I O^{'} = h$ , khi đó
$\frac{V_{1}}{V} = \frac{\frac{1}{3} π r_{1}^{2} h}{\frac{1}{3} π {(3 r_{1})}^{2} .3 h} = \frac{1}{27} \Rightarrow V = 27 V_{1} \Rightarrow V_{2} = V - V_{1} = 26 V_{1}$ .
$S = V_{2} + \frac{78}{V_{1}^{3}} = 26 V_{1} + \frac{78}{V_{1}^{3}} = \frac{26}{3} V_{1} + \frac{26}{3} V_{1} + \frac{26}{3} V_{1} + \frac{78}{V_{1}^{3}} \geq 4 \sqrt[4]{\frac{26}{3} V_{1} . \frac{26}{3} V_{1} . \frac{26}{3} V_{1} . \frac{78}{V_{1}^{3}}} = 4 \sqrt[4]{\frac{456976}{9}}$
Dấu "=" xảy ra khi $\frac{26}{3} V_{1} = \frac{78}{V_{1}^{3}} \Leftrightarrow V_{1} = \sqrt{3}$ . Suy ra $\{\begin{cases} a = \sqrt{3} \\ b = 26 \sqrt{3} \end{cases}$ .
Vậy $a^{2} + b^{2} = 3 + 26^{2} .3 = 2031$

Chọn đáp án C

Gói VIP thi online tại VietJack (chỉ 400k/1 năm học), luyện tập gần 1 triệu câu hỏi có đáp án chi tiết

ĐĂNG KÝ VIP

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Trong không gian Oxyz, đường thẳng Oy có phương trình tham số là

Xem đáp án » 16/05/2022 239

Câu 2:

Cho các số thực a,b thỏa mãn $i [2 (a - 5) - 7 i] = b + (a + 3) i$ với i là đơn vị ảo. Tính a - b.

Xem đáp án » 16/05/2022 185

Câu 3:

Chọn ngẫu nhiên 2 viên bi từ một hộp chứa 2 viên bi đỏ và 3 viên bi xanh. Xác suất để chọn được 2 viên bi xanh là

Xem đáp án » 16/05/2022 168

Câu 4:

Tìm số phức z thỏa mãn $(2 - 3 i) z - (9 - 2 i) = (1 + i) z$ .

Xem đáp án » 16/05/2022 134

Câu 5:

Tập nghiệm của phương trình $2^{x^{2} - x - 4} = \frac{1}{16}$ là

Xem đáp án » 16/05/2022 130

Câu 6:

Mệnh đề nào dưới đây sai?

Xem đáp án » 16/05/2022 130

Câu 7:

Trong không gian Oxyz, cho điểm M thỏa mãn hệ thức $\vec{O M} = 2 \vec{i} + \vec{j}$ . Tọa độ của điểm M là

Xem đáp án » 16/05/2022 125

Câu 8:

Cho hai số phức $z_{1} = 1 + 2 i$ và $z_{2} = 3 - 4 i$ . Số phức $2 z_{1} + 3 z_{2} - z_{1} z_{2}$ là số phức nào sau đây?

Xem đáp án » 16/05/2022 123

Câu 9:

Tính diện tích xung quanh S của khối trụ có bán kính đáy $r = 4$ và chiều cao $h = 3.$

Xem đáp án » 16/05/2022 122

Câu 10:

Cho $z_{1}, z_{2}$ là hai trong các số phức thỏa mãn $|z - 3 + \sqrt{3} i| = 2$ và $|z_{1} - z_{2}| = 4$ . Giá trị lớn nhất của $|z_{1}| + |z_{2}|$ bằng

Xem đáp án » 16/05/2022 120

Câu 11:

Trong không gian với hệ trục Oxyz, đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau $d_{1} : \frac{x - 2}{2} = \frac{y - 3}{3} = \frac{z + 4}{- 5}$ và $d_{2} : \frac{x + 1}{3} = \frac{y - 4}{- 2} = \frac{z - 4}{- 1}$ có phương trình

Xem đáp án » 16/05/2022 116

Câu 12:

Cho $\int_{- 2}^{2} f (x) d x = 1$ , $\int_{- 2}^{4} f (x) d x = - 4$ . Tính $I = \int_{2}^{4} f (x) d x$ .

Xem đáp án » 16/05/2022 113

Câu 13:

Cho hàm số $y = f (x)$ có bảng biến thiên như sau

\

Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng

Xem đáp án » 16/05/2022 109

Câu 14:

Cho cấp số cộng $(u_{n})$ biết $u_{n} = 2 - 3 n$ . Công sai d của cấp số cộng là

Xem đáp án » 16/05/2022 107

Câu 15:

Điểm nào trong hình vẽ dưới đây là điểm biểu diễn số phức liên hợp của số phức $z = - 3 i + 2$ ?

Xem đáp án » 16/05/2022 107

Xem thêm các câu hỏi khác »

Hỏi bài

Đề thi liên quan

Xem thêm »

Bộ đề thi Toán THPT Quốc gia năm 2022 có lời giải (30 đề)

31 đề 93296 lượt thi Thi thử
30 đề thi THPT Quốc gia môn Toán năm 2022 có lời giải

31 đề 53263 lượt thi Thi thử
[Năm 2022] Đề thi thử môn Toán THPT Quốc gia có lời giải (30 đề)

31 đề 47845 lượt thi Thi thử
Đề thi THPT Quốc gia môn Toán học năm 2022 chọn lọc, có lời giải (30 đề)

30 đề 37092 lượt thi Thi thử
Thi Online Bộ đề thi Toán THPT Quốc gia năm 2022 có lời giải (30 đề)

31 đề 33558 lượt thi Thi thử
Bộ 30 đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán năm 2022 có đáp án

21 đề 20028 lượt thi Thi thử
Đề thi thử tốt nghiệp môn Toán THPT năm 2022 có đáp án

30 đề 16202 lượt thi Thi thử
30 Đề thi thử thpt quốc gia môn Toán hay nhất có lời giải chi tiết

31 đề 12149 lượt thi Thi thử
Đề thi THPT Quốc gia môn Toán năm 2022 chọn lọc, có lời giải (30 đề)

31 đề 11351 lượt thi Thi thử
Đề thi thử THPTGQ môn Toán cực cực hay có lời giải chi tiết

31 đề 11310 lượt thi Thi thử