Cho $z_1,z_2$ là nghiệm phương trình $\left|6-3i+iz\right|=\left|2z-6-9i\right|$ và thỏa mãn $\left|z_1-z_2\right|=\frac{8}{5}$. Giá trị lớn nhất của $\left|z_1+z_2\right|$ bằng

Gọi $z_1=x_1+y_{1}i,z_2=x_2+y_{2}i$, với $x_1,y_1,x_2,y_2\in ℝ$.
Do $\left|z_1-z_2\right|=\frac{8}{5}\Rightarrow \left|\left(x_1-x_2\right)+\left(y_1-y_2\right)i\right|=\frac{8}{5}\Rightarrow \sqrt{{\left(x_1-x_2\right)}^2+{\left(y_1-y_2\right)}^2}=\frac{8}{5}$
Gọi $M_1\left(x_1;y_1\right)$, $M_2\left(x_2;y_2\right)$$\Rightarrow M_1{M}_2=\sqrt{{\left(x_1-x_2\right)}^2+{\left(y_1-y_2\right)}^2}=\frac{8}{5}$.
Mà $z_1$ là nghiệm phương trình $\left|6-3i+iz\right|=\left|2z-6-9i\right|$

$\Rightarrow \left|\left(6-y_1\right)+\left(x_1-3\right)i\right|=\left|\left(2x_1-6\right)+\left(2y_1-9\right)i\right|\Rightarrow \sqrt{{\left(6-y_1\right)}^2+{\left(x_1-3\right)}^2}=\sqrt{{\left(2x_1-6\right)}^2+{\left(2y_1-9\right)}^2}$
$\iff {x_1}^2+{y_1}^2-6x_1-8y_1+24=0\Rightarrow M_1\left(x_1;y_1\right)\in$ đường tròn $\left(C\right):x^2+y^2-6x-8y+24=0$.
Tương tự $M_2\left(x_2;y_2\right)\in \left(C\right)$.
Đường tròn (C) có tâm $I\left(3;4\right)$, bán kính $R=1$.
Goị M là trung điểm $M_1{M}_2$, $\Rightarrow IM\perp M_1{M}_2$, $IM=\sqrt{R^2-M_1{M}^2}=\sqrt{1-{\left(\frac{4}{5}\right)}^2}=\frac{3}{5}$ và $\left|z_1+z_2\right|=2OM$.
Mà $OM\le OI+IM$, dấu bằng xảy ra khi $O,I,M$ thẳng hàng. Khi đó $OM\perp M_1{M}_2$, và $OM=OI+IM=\frac{28}{5}$.
$\iff \left|z_1+z_2\right|$đạt giá trị lớn nhất bằng $2\left(OI+IM\right)$, bằng $\frac{56}{5}$.

Hoặc đánh giá chọn đáp án như sau:
Gọi $N\left(-x_2;-y_2\right)\Rightarrow N{M}_1=\sqrt{{\left(x_1+x_2\right)}^2+{\left(y_1+y_2\right)}^2}=\left|z_1+z_2\right|$
Và N đối xứng với $M_2$ qua gốc tọa độ O, $N\in$ đường tròn $\left(C_1\right):x^2+y^2+6x+8y+24=0$.
$\left(C_1\right)$ có tâm $I_1\left(-3;-4\right)$, bán kính $R_1=1$, $\left(C_1\right)$ đối xứng với (C) qua gốc tọa độ O.
Có $I_{1}I=10\Rightarrow I_{1}I-R-R_1=8$.
Nhận xét: với mọi điểm $M_1\in \left(C\right)$, $N\in \left(C_1\right)$ thì $M_{1}N\ge I_{1}I-R-R_1$. Loại các đáp án B,C,D
$\iff \left|z_1+z_2\right|=M_{1}N$đạt giá trị lớn nhất bằng $\frac{56}{5}$.

Chọn đáp án B