Cho hai số thực a,b>1 sao cho luôn tồn tại số thực x $\left(0<x\ne 1\right)$ thỏa mãn $a^{{\log }_{b}x}=b^{{\log }_a{x}^2}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $P={\ln }^{2}a+{\ln }^{2}b-\ln \left(ab\right)$.

Cho một dụng cụ đựng chất lỏng được tạo bởi một hình trụ và hình nón được lắp đặt như hình bên. Bán kính đáy hình nón bằng bán kính đáy hình trụ. Chiều cao hình trụ bằng chiều cao hình nón và bằng h. Trong bình, lượng chất lỏng có chiều cao bằng $\frac{1}{24}$ chiều cao hình trụ. Lật ngược dụng cụ theo phương vuông góc với mặt đất. Tính độ cao phần chất lỏng trong hình nón theo h

Một túi đựng 6 bi trắng, 5 bi xanh. Lấy ra 4 viên bi từ túi đó. Hỏi có bao nhiêu cách lấy mà 4 viên bi lấy ra có đủ hai màu

Cho khối lăng trụ ABC.A'B'C' điểm M là thuộc cạnh A'B' sao cho A'B'=3A'M. Đường thẳng BM cắt đường thẳng AA' tại F, và đường thẳng CF cắt đường thẳng A'C' tại G. Tính tỉ số thể tích khối chóp FA'MG và thể tích khối đa diện lồi GMB'C'CB.

Cho hàm số bậc ba y=f(x) có đồ thị trong hình vẽ dưới đây. Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình $f\left(\sqrt{4-x^2}\right)=m$ có nghiệm thuộc nửa khoảng $\left[-\sqrt{2};\sqrt{3}\right)$ là

Cho hình trụ ngoại tiếp hình lập phương cạnh a. Diện tích xung quanh hình trụ là

Mỗi hình sau gồm một số hữu hạn đa giác phẳng (kể cả các điểm trong của nó), số hình đa diện là

Hai đồ thị $y=x^4-x^2$ và $y=3x^2+1$ có bao nhiêu điểm chung?

Trong không gian Oxyz, tìm tọa độ hình chiếu H của A(1;1;1) lên đường thẳng d: $\left\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=1+t\\ z=t\end{array}\right.$

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là điểm I với

Gọi $z_1$, $z_2$ lần lượt có điểm biểu diễn là M, N trên mặt phẳng phức (hình bên). Khi đó phần ảo của số phức $\frac{z_1}{z_2}$ là

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d: $\frac{x+1}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{-1}$ và hai điểm A(-1;3;1); B(0;2;-1). Gọi C(m;n;p) là điểm thuộc đường thẳng d sao cho diện tích tam giác ABC bằng $2\sqrt{2}$. Giá trị của tổng m+n+p bằng

Cho lăng trụ $ABC.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$ có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của B' lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm G của tam giác ABC. Cạnh bên BB' hợp với đáy (ABC) góc 60°.  Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCC'B') là

Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm liên tục trên $\mathrm{ℝ}$. Đồ thị hàm số y=f(x) như hình vẽ bên. Khi đó giá trị của biểu thức $\underset{0}{\overset{4}{\int }}{f}^{\text{'}}\left(x-2\right)dx+\underset{0}{\overset{2}{\int }}{f}^{\text{'}}\left(x-2\right)dx$ bằng bao nhiêu?

Cho hình trụ có bán kính đáy bằng 3 cm, độ dài đường cao bằng 4 cm. Tính diện tích xung quanh của hình trụ này

Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số $y=x^4-2m^2{x}^2+1$ có ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác vuông cân