Cho hình trụ có các đường tròn đáy là (O) và (O’), bán kính đáy bằng 1 chiều cao bằng 2. AB, CD lần lượt là đường kính của đường tròn đáy (O) và (O’) sao cho AB vuông góc CD. Tính cosin góc giữa hai đường thẳng AC và BD.

Cho hàm số $\mathrm{y}={\mathrm{mx}}^3+3{\mathrm{mx}}^2+\mathrm{x}-1$. Tìm m để hàm số đồng biến trên $\mathrm{ℝ}$

Tìm số hạng đầu ${\mathrm{u}}_1$ và công bội q của cấp số nhân $\left({\mathrm{u}}_{\mathrm{n}}\right)$, biết $\left\{\begin{array}{l}{\mathrm{u}}_4-{\mathrm{u}}_2=72\\ {\mathrm{u}}_5-{\mathrm{u}}_3=144\end{array}\right.$

Khi x thay đổi trong khoảng $\left[\frac{2\mathrm{\pi }}{3};\frac{7\mathrm{\pi }}{3}\right)$ thì hàm $\mathrm{y}=\mathrm{cosx}$ lấy mọi giá trị thuộc khoảng

Cho hàm số $\mathrm{y}={\mathrm{x}}^3+{\mathrm{ax}}^2+\mathrm{bx}+1$ và giả sử A, B là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số. Khi đó điều kiện để đường thẳng AB đi qua gốc tọa độ $\mathrm{O}\left(0;0\right)$là

Phương trình đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $\text{f}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{2{\mathrm{x}}^2-\mathrm{x}+3}{\mathrm{x}-1}$ là

Khối lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng nhau và có thể tích là $\frac{27\sqrt{3}}{4}$ thì độ dài các cạnh bằng

Tìm m để phương trình ${\mathrm{x}}^3-3{\mathrm{x}}^2-9\mathrm{x}+\mathrm{m}=0$ (1) có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng.

Trong mặt phẳng Oxy, gọi các điểm M, N lần lượt là điểm biểu diễn số phức ${\mathrm{z}}_1=2-\mathrm{i},{\mathrm{z}}_2=1+4\mathrm{i}.$ Gọi G là trọng tâm của tam giác OMN, với O là gốc tọa độ. Hỏi G là điểm biểu diễn của số phức nào sau đây?

Có một cái hồ rộng 50m, dài 200m. Một vận động viên chạy phối hợp với bơi (bắt buộc cả hai) cần đi từ góc này qua góc đối diện bằng cách cả chạy và bơi (như hình vẽ). Hỏi rằng sau khi chạy được bao xa (quãng đường x) thì nên nhay xuống bơi để đến đích nhanh nhất? Biết rằng vận tốc bơi là 1,5m/s và vận tốc chạy là 4,5m/s.

Một hình trụ có tâm các đáy là O,O′. Biết rằng mặt cầu đường kính OO′ tiếp xúc với các mặt đáy của hình trụ tại O,O′ và tiếp xúc với mặt xung quanh của hình trụ đó. Diện tích của mặt cầu này là 8π. Tính diện tích xung quanh của hình trụ đã cho.

Cho hai số phức ${\mathrm{z}}_1=1+\mathrm{i},{\mathrm{z}}_2=2-2\mathrm{i}.$ Phần thực và phần ảo của số phức ${\mathrm{z}}_1.{\mathrm{z}}_2$ tương ứng bằng

Cho hình chóp SABCD có $\mathrm{SA}=\mathrm{SB}=\mathrm{SC}=\mathrm{AB}=\mathrm{AC}=\mathrm{a};$$\mathrm{BC}=\mathrm{a}\sqrt{2}$. Tính góc giữa 2 đường thẳng AB và SC.

Có bao nhiêu điểm M trên đường thẳng $\mathrm{d}:\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=1-\mathrm{t}\\ \mathrm{y}=1+\mathrm{t}\\ \mathrm{z}=2\mathrm{t}\end{array}\right.$ mà $\mathrm{AM}=\sqrt{1}0$ với $\mathrm{A}\left(0;1;-1\right)?$

Với m bằng bao nhiêu thì phương trình ${{\log }_2}^2\mathrm{x}+{\log }_{\frac{1}{2}}{\mathrm{x}}^2-3=\mathrm{m}\left({\log }_4{\mathrm{x}}^2-3\right)$ có nghiệm $x>32$

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm $\mathrm{G}\left(1;2;3\right)$. Mặt phẳng $\left(\mathrm{\alpha }\right)$ đi qua G cắt Ox,Oy,Oz lần lượt tại A, B, C sao cho G là trọng tâm của tam giác ABC. Viết phương trình mặt phẳng $\left(\mathrm{\alpha }\right)$.