Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABC) là một điểm nằm trên đoạn thẳng BC. Mặt phẳng (SAB) tạo với (SBC) một góc ${60}^o$ và mặt phẳng (SAC) tạo với (SBC) một góc $\phi$ thỏa mãn $\cos \phi =\frac{\sqrt{2}}{4}$ . Gọi $\alpha$ là góc tạo bởi SA và mặt phẳng (ABC). Tính $\tan \alpha$

Bất phương trình ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{x^2-2x}>\frac{1}{8}$  có tập nghiệm là (a; b). Khi đó giá trị của b - a là

Cho hàm số $f\left(x\right) = x^5 + 3x^3 - 4m$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình $f\left(\sqrt[3]{f\left(x\right)+m}\right)=x^3-m$  có nghiệm thuộc [1; 2]?

Số giao điểm của đường thẳng $\mathrm{y} = \mathrm{x} + 2$ và đường cong $\mathrm{y} = {\mathrm{x}}^3 + 2$ là

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R và có bảng xét dấu của đạo hàm như sau

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số g (x) = f (x + m) đồng biến trên khoảng (0; 2).

Phương trình ${\log }_3\frac{2x-1}{{\left(x-1\right)}^2}=3x^2-8x+5$ có hai nghiệm là a và $\frac{a}{b}$  (với a,b Î N* và  là phân số tối giản). Giá trị của b là

Cho các đường thẳng $d_1:\frac{x-1}{1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z}{-1}$  và $d_2:\frac{x-2}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z+3}{2}$  . Viết phương trình đường thẳng $∆$ đi qua A (1; 0; 2), cắt $d_1$ và vuông góc với $d_2$.

Cho hàm số y = f (x) liên tục trên R có đồ thị như hình vẽ.

Biết trên $(-\infty ; -3)\cup (2; +\infty ) thì f\text{'}\left(x\right) > 0$. Số nghiệm nguyên thuộc (-10; 10) của bất phương trình $[f (x) + x - 1](x^2 - x - 6) > 0$ là

Giá trị của biểu thức $9^{\frac{1}{2}{\log }_{3}4}$  bằng

Cho hàm số y = f (x) thỏa mãn f(0) = 1, f'(x) liên tục trên R và $\underset{0}{\overset{3}{\int }}\mathrm{f}\text{'}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}=9$.Giá trị của f(3) là

Cho phương trình ${\log }_3^{2}x-{\log }_{3}x+m-3=0$ . Tìm tất cả các giá trị nguyên của tham số m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt $x_1 < x_2$ thỏa mãn $x_2 – 81x_1 < 0$

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R sao cho $\underset{x\in \left[0;10\right]}{max}f\left(x\right)=f\left(2\right)=4$ . Xét hàm số $g\left(x\right)=f(x^3+x)-x^2+2x+m$ . Giá trị của tham số m để $\underset{x\in \left[0;2\right]}{max}g\left(x\right)=8$  là

Cho hàm số y = f (x) có đồ thị (C), biết tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ

x = 0 là đường thẳng y = 3x - 3. Giá trị của $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{3x}{f\left(3x\right)-5f\left(4x\right)+4f\left(7x\right)}$

Cho đa thức bậc bốn y = f (x) đạt cực trị tại x = 1 và x = 2. Biết $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{2x+f\text{'}\left(x\right)}{2x}=2$ . Tích phân $\underset{0}{\overset{1}{\int }}f\text{'}\left(x\right)dx$

Tính chiều cao h của hình trụ biết chiều cao h bằng bán kính đáy và thể tích của khối trụ đó là $8\mathrm{\pi }$

Cho a, b là các số dương tùy ý, khi đó ln (a + ab) bằng