Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang  cân, AD=2AB=2CD=2a. Hai mặt phẳng (SAB) và (SAD)  cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi M, N lần lượt  là trung điểm của SB và CD (tham khảo hình vẽ bên). Tính  sin góc giữa MN và (SAC), biết thể tích khối chóp S.ABCD  bằng $\frac{{\mathrm{a}}^3\sqrt{3}}{4}$.

Cho tập A={1;2;4;5;6}, gọi S là tập các số tự nhiên có 3 chữ số đôi một khác nhau tạo thành từ A. Lấy ngẫu nhiên một số từ S. Tính xác suất để số đó là số lẻ

Cho số phức z thỏa mãn $\overline{\mathrm{z}}=\frac{(1-\sqrt{3}\mathrm{i}{)}^3}{1-\mathrm{i}}$. Tìm môđun của $\mathrm{z}-\mathrm{i}. \overline{\mathrm{z}}$

Cho hình chóp S.ABC có SA$\perp$(ABC), tam giác ABC vuông cân tại B, AC= 2a và SA=a. Gọi M là trung điểm của SB. Tính thể tích khối chóp S.AMC.  

Cho hình vuông ABCD cạnh a. Khi đó $\overrightarrow{\mathrm{AB}}.\overrightarrow{\mathrm{AC}}$bằng: 

Từ phương trình $\left(1+\sqrt{5}\right)\left(\mathrm{sinx}-\mathrm{cosx}\right)+\sin 2\mathrm{x}-1-\sqrt{5}=0$ ta tìm được $\sin \left(x-\frac{\mathrm{\pi }}{4}\right)$ có giá trị bằng

Cho tam giác ABC, M và N là hai điểm thỏa mãn: $\overrightarrow{\mathrm{BM}}=\overrightarrow{\mathrm{BC}}-2\overrightarrow{\mathrm{AB}}$;$\overrightarrow{CN}=x\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BC}$. Xác định x để A, M, N thẳng hàng

Mặt cầu có tâm O và tiếp xúc với mặt phẳng (P): x+2y-2z-6=0 có phương trình là

Biết rằng đồ thị hàm số $\mathrm{y}=\frac{2\mathrm{x}+1}{\mathrm{x}}$ và đồ thị hàm số $\mathrm{y}={\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}+1$ cắt nhau tại hai điểm, kí hiệu  $(x_1;y_1),(x_2;y_2)$ là tọa độ hai điểm đó. Tính $y_1+y_2.$

Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2;1;3), B(6;5;5). Gọi (S) là mặt cầu có đường kính AB. Mặt phẳng (P) vuông góc với đoạn AB tại H sao cho khối nón đỉnh A và đáy là hình tròn tâm H (giao của mặt cầu (S) và mặt phẳng (P) có thể tích lớn nhất, biết rằng (P)+2x+by+cz+d=0 với b,c,d∈Z. Tính S=b+c+d.

Cho các số phức z thỏa mãn $|\mathrm{z}-\mathrm{i}|=5$. Biết rằng tập hợp điểm biểu diễn số phức w = iz+1-i là đường tròn. Tính bán kính của đường tròn đó. 

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S):$(\mathrm{x}-1{)}^2+(\mathrm{y}-2{)}^2+(\mathrm{z}-3{)}^2=81$. Mặt phẳng tiếp xúc (S) tại điểm P(-5;-4;6) là:

Cho hàm số $\mathrm{y}=-{\mathrm{x}}^3+3{\mathrm{x}}^2+3({\mathrm{m}}^2-1)\mathrm{x}-3{\mathrm{m}}^2-1$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để đồ thị hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu nằm bên trái đường thẳng x=2

Cho a,b là các số thực thỏa mãn  0<a<b<1. Mệnh đề nào sau đây đúng

Chọn ngẫu nhiên một số nguyên dương nhỏ hơn 21. Xác suất để số được chọn là số chia hết cho 3 bằng

Với n là số nguyên dương thỏa mãn ${\mathrm{A}}_{\mathrm{n}}^2+{\mathrm{C}}_{\mathrm{n}+1}^{\mathrm{n}-1}=210$, hệ số của số hạng chứa $x^{12}$ trong khai triển ${\left({\mathrm{x}}^5+\frac{2}{{\mathrm{x}}^3}\right)}^{\mathrm{n}}$ bằng