Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $\left(S\right): x^2+y^2+z^2-2x-2y-2z-1=0$ và mặt phẳng $\left(P\right): x+y+2z+2=0$. Giả sử điểm M thuộc (P) và điểm N thuộc (S) sao cho $\overrightarrow{MN}$ cùng phương với vectơ . Độ dài nhỏ nhất của đoạn MN là:

Phương trình $4{\sin }^{2}2x-3\sin 2x\cos 2x-{\cos }^{2}2x=0$ có bao nhiêu nghiệm trong khoảng ?

Cho parabol $y=a{x}^2+bx+4$ có trục đối xứng là đường thẳng $x=\frac{1}{3}$ và đi qua  điểm A(1;3). Tổng giá trị a+2b là:

Khẳng định nào sau dưới đây là sai?

Cho parabol $\left(P\right): y=x^2+2$ và hai tiếp tuyến của (P) tại các điểm M(-1;3) và N(2;6). Diện tích hình phẳng  giới hạn bởi (P) và hai tiếp tuyến đó bằng

Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số $y=\frac{x^3}{3}-(m-2)x^2+(4m-8)x+m+1$ đạt cực trị tại các điểm x₁, x₂ sao cho $x_1<-2<-x_2$

Cho A là tập hợp gồm 20 điểm phân biệt. Số đoạn thẳng có hai đầu mút phân biệt thuộc tập A là:

Một người thợ nón muốn làm 100 cái nón sao cho mỗi chiếc nón có chu vi vành nón là 120 cm và khoảng cách từ đỉnh nón tới một điểm bất kì trên vành nón là 30 cm. Biết rằng để làm được 1 m² mặt nón thì cần 120 lá nón đã qua sơ chế và giá 100 lá nón là 30.000đ. Hỏi người thợ cần bao nhiêu tiền để làm được 100 chiếc nón đó.

Cho số phức z₁, z₂  thỏa mãn $\left|z_1\right|=\left|z_2\right|=2\sqrt{5}$. Gọi M, N  lần lượt là điểm biểu diễn hai số phức z₁, z₂ trên mặt phẳng tọa độ. Biết $MN=2\sqrt{2}$. Gọi H là đỉnh thứ tư của hình bình hành OMHN và K là trung điểm của OM. Tính l=KH

Khi ánh sáng đi qua một môi trường (chẳng hạn như không khí, sương mù,…), cường độ sẽ giảm dần theo quãng đường truyền x, theo công thức $I\left(x\right)=I_0{e}^{-\mu x}$, trong đó  là cường độ của ánh sáng khi bắt đầu truyền vào môi trường và $\mu$ là hệ số hấp thu của môi trường đó. Biết rằng nước biển có hệ số hấp thu là $\mu$ và người ta tính được rằng khi đi từ độ sâu 2 m xuống đến độ sâu 20 m thì cường độ ánh sáng giảm $l.{10}^{10}$  lần. Số nguyên nào sau đây gần với l nhất?

Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=\sin x$ và đồ thị hàm số y=F(x) đi qua điểm M(1;0). Tính $F\left(\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right)$

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và AD, H là giao điểm của CN và DM. Biết SH vuông góc mặt phẳng (ABCD) và $SH=a\sqrt{3}$ . Khoảng cách giữa đường thẳng DM  và SC là

Cho hàm số $y=\frac{x+2}{2x+3}$ có đồ thị (C). Giả sử, đường thẳng d: y=kx+m là tiếp tuyến của (C), biết rằng d cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân tại gốc tọa độ O. Tổng k+m có giá trị bằng:

Nhà thầy Hiếu trồng rất nhiều hoa ly để bán phục vụ tết. Trog ngày 29 tết âm lịch Thầy Hiếu bán hàng tại vườn từ lúc 6 giờ sáng đến 4 giờ chiều, cứ sau 1 tiếng thầy Hiếu lại đếm số cây hoa ly đã bán thì thấy số cây hoa ly bán được theo thời gian là $f\left(t\right)=15t^2-t^3$  (t: thời gian, đơn vị giờ). Giả sử f '(t) là số cây bán được trong 1 giờ tại thời điểm t. Hỏi số cây hoa ly bán được nhiều nhất vào lúc mấy giờ?

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz,  cho mặt cầu $\left(S\right): x^2+y^2+z^2-4x-2y+4z=0$ và mặt phẳng $\left(P\right): x+2y-2z+1=0$. Gọi (Q) là mặt phẳng song song với (P) và tiếp xúc với mặt cầu (S). Phương trình mặt phẳng (Q) là

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hình hộp chữ nhật OABC.EFGH có các cạnh OA=5, OC=8, OE=7 (xem hình vẽ). Tọa độ điểm H là: