Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có AA'=AB=AC=1,$\widehat{BAC}={120}^0$. Gọi M là trung điểm cạnh CC′. Côsin góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (AB′M) bằng

Có bao nhiêu số nguyên m < 10 để hàm số $y=|x^3-mx+1|$ có 5 điểm cực trị.

Có bao nhiêu số nguyên âm m để hàm số $y=ln(x^3+mx+2)$ đồng biến trên khoảng $(1;+\infty )$.

Cho các số thực dương $a_1,a_2,a_3,a_4,a_5$ theo thứ tự lập thành cấp số cộng và các số thực dương $b_1,b_2,b_3,b_4,b_5$ theo thứ tự lập thành cấp số nhân. Biết rằng $a_1=b_1$ và $a_5=\frac{176}{17}{b}_5$. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $\frac{a_2+a_3+a_4}{b_2+b_3+b_4}$ bằng

Hình nón có góc ở đỉnh bằng $60°$ và chiều cao bằng $\sqrt{3}$. Độ dài đường sinh của hình nón là

Với a,b là hai số thực dương bất kì. Số điểm cực trị của hàm số $y=x^3+a{x}^2-bx+1$ là

Cho hàm số f (x) có đạo hàm cấp hai liên tục trên đoạn [0;1] thoả mãn $[f\text{'}(x){]}^2+f(x)f\text{'}\text{'}(x)\ge 1,\forall x\in [0;1]$ và $f^2\left(0\right)+f\left(0\right).f^{\text{'}}\left(0\right)=\frac{3}{2}$. Giá trị nhỏ nhất của tích phân ${\int }_0^1{f}^2\left(x\right)dx$ bằng

Hàm số nào dưới đây đồng biến trên R?

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng $\left(\alpha \right)$:x-my+z+2m-1=0;$\left(\beta \right)$:mx+y-mz+m+2=0. Gọi $\Delta$ là hình chiếu vuông góc của d lên mặt phẳng (Oxy). Biết rằng với mọi số thực m thay đổi thì Δ luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định. Tính bán R của đường tròn đó.

Thể tích của khối tứ diện OABC có OA=OB=OC=a và OA,OB,OC đôi một tạo với nhau một góc $60°$ bằng

Cho hai số thực dương x, y thoả mãn 3sin⁡x+$\sqrt{15 \sin x\sin y}$+5 sin⁡y=7 sin⁡( x+y) và $x+y<\pi$. Giá trị nhỏ nhất của x+y bằng

Điểm M trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn của số phức nào dưới đây ?

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, đường thẳng nào dưới đây song song với mặt phẳng $\left(\alpha \right)$:x+y+z-3=0.

Cho tam giác ABC có diện tích bằng 30. Quay tam giác ABC quanh cạnh BC thu được vật thể tròn xoay có thể tích bằng $100\pi$. Tính độ dài cạnh BC.

Một quan sát viên C đứng cách đường đua Ot một khoảng OC=1km(OC$\perp$Ot). Hai vận động viên A,B xuất phát tại O và chạy cùng lúc (sang phải, như hình vẽ) trên đường đua. Góc $\theta =\widehat{ACB}$ được gọi là góc nhìn từ C đến hai vận động viên. Giả sử B luôn chạy nhanh hơn A bốn lần. Khi góc nhìn từ C đến hai vận động viên lớn nhất, tính độ dài đoạn AB.

Cho hai số thực dương a,b thoả mãn a+b=2018 và ${\int }_a^b\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{2018-x}}dx=10$. Tích phân ${\int }_a^{b}sin\left(\frac{\pi x}{3}\right)dx$ bằng