Cho hàm số f(x) liên tục trên R thỏa mãn ${\int }_1^{e^6}\frac{f\left(\sqrt{x}\right)}{x}dx=6$ và ${\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}f\left({\cos }^{2}x\right)\sin 2xdx=2$. Tích phân ${\int }_1^3\left(f\left(x\right)+2\right)dx$ bằng

Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A′B′C′ có đáy là tam giác vuông tại A, AB =1,BC = 2. Góc $\angle CBB\text{'}=90°,\angle ABB\text{'}=120°$. Gọi M là trung điểm cạnh AA′. Biết $d\left(AB\text{'},CM\right)=\frac{\sqrt{7}}{7}$. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho.

Trên đoạn thẳng AB dài 200 mét có hai chất điểm X và Y. Chất điểm X xuất phát từ A chuyển động thẳng hướng đến B với vận tốc biến thiên theo thời gian bởi quy luật $v\left(t\right)=\frac{1}{80}{t}^2+\frac{1}{3}t\left(m/s\right)$, trong đó t (giây) tính từ lúc X bắt đầu chuyển động. Từ trạng thái nghỉ, chất điểm Y xuất phát từ B và xuất phát chậm hơn X 10 giây và chuyển động thẳng ngược chiều với X có gia tốc bằng $a\left(m/s^2\right)$ với a là hằng số. Biết rằng hai chất điểm gặp nhau tại đúng trung điểm của đoạn thẳng AB, giá trị của a bằng

Một người gửi vào ngân hàng số tiền 30 triệu đồng, lãi suất 0,48%/tháng. Sau đúng một tháng kể từ ngày gửi người này gửi đều đặn thêm vào 1 triệu đồng; hai lần gửi liên tiếp cách nhau đúng 1 tháng. Giả định rằng lãi suất không thay đổi và người này không rút tiền ra, số tiền lãi của tháng trước được cộng vào vốn và tính lãi cho tháng kế tiếp. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu tháng người này thu về tổng số tiền cả gốc và lãi ít nhất là 50 triệu đồng.

Cho khối tứ diện OABC có đáy OBC là tam giác vuông tại O,OB=a,AC=$a\sqrt{3}$,(a>0) và đường cao $OA=a\sqrt{3}$. Tính thể tích V của khối tứ diện theo a

Cho số phức z thoả mãn $\left|z-1\right|\le 1$ và $z-\overline{z}$ có phần ảo không âm. Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là một miền phẳng. Tính diện tích S của miền phẳng này

Cho các số thực dương a,b, x thoả mãn ${\log }_{\frac{1}{2}}x=\frac{2}{3}{\log }_{\frac{1}{2}}a-\frac{1}{5}{\log }_{\frac{1}{2}}b$. Mệnh đề nào dưới đây đúng ?

Gọi S là tập hợp tất cả các số phức z thoả mãn $\left|z-1\right|=\sqrt{34}$ và $\left|z+1+mi\right|=\left|z+m+2i\right|$. Gọi z₁, z₂ là hai số phức thuộc (S) sao cho $\left|z_1-z_2\right|$ nhỏ nhất, giá trị của $\left|z_1+z_2\right|$ bằng

Biết rằng phương trình ${\log }_2\left(\left|2x-1\right|+m\right)=1+{\log }_3\left(m+4-4x^2-1\right)$ có nghiệm thực duy nhất. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(3;0;0),B(0;4;0),C(0;0;c) với c là số thực thay đổi khác 0. Khi c thay đổi thì trực tâm H của tam giác ABC luôn thuộc một đường tròn cố định. Bán kính của đường tròn đó bằng

Cho hàm số $f\left(x\right)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$, có đồ thị (C) và M là một điểm bất kì thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại M cắt (C) tại điểm thứ hai N ; tiếp tuyến của (C) tại N cắt (C) tại điểm thứ hai P. Gọi S₁,S₂ lần lượt là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng MN và (C) ; đường NP và (C). Mệnh đề nào dưới đây đúng ?

Người ta thiết kế một thùng chứa hình trụ có thể tích V cho trước. Biết rằng đơn giá của vật liệu làm mặt đáy và nắp của thùng bằng nhau và gấp 3 lần so với đơn giá vật liệu để làm mặt xung quanh của thùng (chi phí cho mỗi đơn vị diện tích). Gọi chiều cao của thùng là h và bán kính đáy là r. Tính tỉ số $\frac{h}{r}$  sao cho chi phí vật liệu sản xuất thùng là nhỏ nhất?

Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm đến cấp hai trên R. Bảng biến thiên của hàm số y=f'(x) như hình vẽ. Bất phương trình $m+x^2\le f\left(x\right)+\frac{1}{3}{x}^3$ nghiệm đúng với mọi x ∈(0;3) khi và chỉ khi

Cho đa giác đều 20 cạnh. Lấy ngẫu nhiên 3 đỉnh của đa giác đều. Xác suất để 3 đỉnh lấy được là 3 đỉnh của một tam giác vuông không có cạnh nào là cạnh của đa giác đều bằng

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1;3;-4), B(-1;2;2). Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB là

Cho tập hợp A={1,2,3,...,10}. Một tổ hợp chập 2 của A là