Giả sử (x; y) là nghiệm hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x}+\frac{7}{y}=8\\ \frac{4}{x}+\frac{14}{y}=18\end{array}\right.$. Tính $x^2+y^2$?

1. Quy tắc thế

Định nghĩa: Quy tắc thế dùng để biến đổi một hệ phương trình thành hệ phương trình tương đương.

Quy tắc thế gồm 2 bước sau:

Bước 1: Từ một phương trình của hệ đã cho (coi là phương trình thứ nhất), ta biểu diễn một ẩn theo ẩn kia rồi thế vào phương trình thứ hai để được một phương trình mới (chỉ còn một ẩn).

Bước 2: Dùng phương trình mới ấy để thay thế cho phương trình thứ hai trong hệ (Phương trình thứ nhất thường được thay thế bởi hệ thức biểu diễn một ẩn theo ẩn kia có được ở bước 1).

Ví dụ 1: Xét hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}x-2y=5\\ 2x+3y=6\end{array}\right.$(I)

Ta thực hiện các bước rút thế như sau:

$\left\{\begin{array}{l}x-2y=5\text{ (1)}\\ 2x+3y=6\text{ (2)}\end{array}\right.$ Từ phương trình (1) ta rút được x = 2y + 5 thế vào phương trình (2) ta được:

$\left\{\begin{array}{l}x=2y+5\\ 2(2y+5)+3y=6\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}x=2y+5\\ 4y+10+3y=6\end{array}\right.$ $\iff \left\{\begin{array}{l}x=2y+5\\ 7y+10=6\end{array}\right.$

2. Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

Định nghĩa: Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế là ta sửa dụng phương pháp thế để tìm ra tất cả các nghiệm của phương trình.

Các bước giải hệ phương trình bằng phương pháp thế:

Bước 1: Dùng quy tắc thế biến đổi hệ phương trình đã cho để được một hệ phương trình mới, trong đó có một phương trình một ẩn.

Bước 2: Giải phương trình một ẩn đó rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho.

Ví dụ 2: Giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}x-2y=5\\ 2x+3y=6\end{array}\right.$.

Từ ví dụ 1 ta có:

Ta thực hiện các bước rút thế như sau:

$\left\{\begin{array}{l}x-2y=5\text{ (1)}\\ 2x+3y=6\text{ (2)}\end{array}\right.$ Từ phương trình (1) ta rút được x = 2y + 5 thế vào phương trình (2) ta được:

$\left\{\begin{array}{l}x=2y+5\\ 2(2y+5)+3y=6\end{array}\right.$ $\iff \left\{\begin{array}{l}x=2y+5\\ 4y+10+3y=6\end{array}\right.$ $\iff \left\{\begin{array}{l}x=2y+5\\ 7y+10=6\end{array}\right.$(II)

Ta giải tiếp hệ phương trình (II)

$\left\{\begin{array}{l}x=2y+5\\ 7y+10=6\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}x=2y+5\\ 7y=6-10\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}x=2y+5\\ 7y=-4\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=2y+5\\ y=\frac{-4}{7}\end{array}\right.$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y) là $\left(\frac{27}{7};\frac{-4}{7}\right)$