Có bao nhiêu số nguyên x thỏa mãn $\frac{15}{41}+\frac{-138}{41}\le x<\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}$?

1. Phép cộng phân số

a) Quy tắc cộng hai phân số

*Quy tắc cộng hai phân số cùng mẫu

Muốn cộng hai phân số có cùng mẫu số, ta cộng tử số với nhau và giữ nguyên mẫu số.

$\frac{a}{m}+\frac{b}{m}=\frac{a+b}{m}$

*Quy tắc cộng hai phân số không cùng mẫu

Muốn cộng hai phân số không cùng mẫu, ta quy đồng mẫu những phân số đó rồi cộng các tử và giữ nguyên mẫu chung.

Ví dụ 1. Tính:

a) $\frac{7}{-25}+\frac{-8}{25}$

b) $\frac{3}{5}+\frac{-7}{4}$

Hướng dẫn giải

a) $\frac{7}{-25}+\frac{-8}{25}$

$=\frac{-7}{25}+\frac{-8}{25}$

$=\frac{\left(-7\right)+\left(-8\right)}{25}$

$=\frac{-15}{25}$

$=\frac{\left(-15\right):5}{25:5}$

$=\frac{-3}{5}$

b) $\frac{3}{5}+\frac{-7}{4}$

$=\frac{3.4}{5.4}+\frac{\left(-7\right).5}{4.5}$

$=\frac{12}{20}+\frac{-35}{20}$

$=\frac{12+\left(-35\right)}{20}$

$=\frac{-23}{20}$

b) Tính chất của phép cộng phân số

Tương tự phép cộng các số tự nhiên, phép cộng phân số cũng có các tính chất: giao hoán, kết hợp, cộng với số 0.

Trong thực hành, ta có thể sử dụng các tính chất này để tính giá trị biểu thức một cách hợp lí.

Ví dụ 2. Tính một cách hợp lí: $\text{B = }\frac{1}{\text{15}}+\frac{-3}{10}+\frac{14}{15}+\frac{-7}{10}$

Hướng dẫn giải

$\text{B = }\frac{1}{\text{15}}+\frac{-3}{10}+\frac{14}{15}+\frac{-7}{10}$

$\text{B = }\frac{1}{\text{15}}+\frac{14}{15}+\frac{-3}{10}+\frac{-7}{10}$

$\text{B = }\frac{1}{\text{15}}+\frac{14}{15}+\frac{-3}{10}+\frac{-7}{10}$

$\text{B = }\left(\frac{1}{\text{15}}+\frac{14}{15}\right)+\left(\frac{-3}{10}+\frac{-7}{10}\right)$

$\text{B = }\frac{15}{15}+\frac{-10}{10}$

B = 1 + (‒1)

B = 0.

2. Phép trừ phân số

a) Số đối của một phân số

- Số đối của phân số $\frac{a}{b}$ kí hiệu là $-\frac{a}{b}$. Ta có: $\frac{a}{b}+\left(-\frac{a}{b}\right)=0$ 

Chú ý: Ta có: $-\frac{a}{b}=\frac{a}{-b}=\frac{-a}{b}$ với $a,b\in \mathbb{Z},$ b ≠ 0.

Số đối của $-\frac{a}{b}$ là $\frac{a}{b}$, tức là $-\left(-\frac{a}{b}\right)=\frac{a}{b}.$  

Ví dụ 3. Số đối của phân số $\frac{11}{2}$ là $-\frac{11}{2}$. Ta có: $\frac{11}{2}+\left(-\frac{11}{2}\right)=0.$ 

Số đối của phân số $\frac{-3}{5}$ là $-\left(\frac{-3}{5}\right)=\frac{-\left(-3\right)}{5}=\frac{3}{5}$. Ta có: $\frac{-3}{5}+\frac{3}{5}=0.$ 

b) Quy tắc trừ hai phân số

- Muốn trừ hai phân số có cùng mẫu, ta trừ tử của số bị trừ cho tử của số trừ và giữ nguyên mẫu.

$\frac{a}{m}-\frac{b}{m}=\frac{a-b}{m}$.

- Muốn trừ hai phân số không cùng mẫu, ta quy đồng mẫu những phân số đó rồi trừ tử của số bị trừ cho tử của số trừ và giữ nguyên mẫu chung.

Ví dụ 4. Tính:

a) $\frac{7}{-15}-\frac{-8}{15}$

b) $\frac{3}{5}-\frac{-7}{4}$

Hướng dẫn giải

a) $\frac{7}{-15}-\frac{-8}{15}=\frac{-7}{15}-\frac{-8}{15}=\frac{\left(-7\right)-\left(-8\right)}{15}=\frac{\left(-7\right)+8}{15}=\frac{1}{15}$

b) $\frac{3}{5}-\frac{-7}{4}=\frac{3.4}{5.4}-\frac{\left(-7\right).5}{4.5}=\frac{12}{20}-\frac{-35}{20}=\frac{12-\left(-35\right)}{20}=\frac{12+35}{20}=\frac{37}{20}$

- Muốn trừ hai phân số, ta cộng số bị trừ với số đối của số trừ:

$\frac{a}{b}-\frac{c}{d}=\frac{a}{b}+\left(-\frac{c}{d}\right).$

Ví dụ 5. Tính: $\frac{1}{6}-\frac{-5}{6}$

Hướng dẫn giải

$\frac{1}{6}-\frac{-5}{6}=\frac{1}{6}+\left(-\frac{-5}{6}\right)=\frac{1}{6}+\frac{5}{6}=\frac{6}{6}=1$

3. Quy tắc dấu ngoặc

- Khi bỏ dấu ngoặc có dấu cộng “+” đằng trước, ta giữ nguyên dấu các số hạng trong ngoặc.

- Khi bỏ dấu ngoặc có dấu trừ “‒“ đằng trước, ta phải đổi dấu của các số hạng trong ngoặc: dấu “+” thành dấu “‒“ và dấu “‒“ thành dấu “+”.

$\frac{a}{b}-\left(\frac{c}{d}+\frac{e}{f}-\frac{g}{h}\right)=\frac{a}{b}-\frac{c}{d}-\frac{e}{f}+\frac{g}{h}$

Ví dụ 6. Tính một cách hợp lí: $A=\frac{-3}{17}-\left(\frac{2}{3}-\frac{3}{17}\right)$

Hướng dẫn giải:

Ta có $A=\frac{-3}{17}-\left(\frac{2}{3}-\frac{3}{17}\right)$

$A=\frac{-3}{17}-\frac{2}{3}+\frac{3}{17}$

$A=\frac{-3}{17}+\frac{3}{17}-\frac{2}{3}$

$A=\left(\frac{-3}{17}+\frac{3}{17}\right)-\frac{2}{3}$

$A=0-\frac{2}{3}$

$A=-\frac{2}{3}$

Vậy $A=-\frac{2}{3}$.