Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(0;8;2) và mặt cầu (S) có phương trình (S):(x−5)2+(y+3)2+(z−7)2=72 và điểm B(9;−7;23). Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A và tiếp xúc với (S) sao cho khoảng cách từ B đến (P) lớn nhất. Giả sử →n=(1;m;n)(m,n∈ℤ) là một vectơ pháp tuyến của (P), tính tích m.n.
A. m.n=2
B. m.n=-2
C. m.n=4
D. m.n=-4
Đáp án D
Cách 1:
Mặt cầu (S) có tâm I(5;-3;7) và bán kính R=6√2.
→IA=(−5;11;−5)⇒IA=√171>6√2 nên điểm A nằm ngoài mặt cầu.
→IB=(4;−4;16)⇒IB=12√2>6√2 nên điểm B nằm ngoài mặt cầu.
⇒A,I,B không thẳng hàng.
Mặt phẳng (P) qua A và tiếp xúc với (S) nên khi (P) thay đổi thì tập hợp các đường thẳng qua A và tiếp điểm tạo thành hình nón.
Gọi (AB,(P))=α⇒d(B,(P))=AB.sinα đạt giá trị lớn nhất A,B,I,H đồng phẳng ⇔(AIB)⊥(P) (H là hình chiếu của B lên (P)).
Mặt phẳng (P) qua A và nhận →n=(1;m;n) làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình x+my−nz−8m−2n=0.
Mặt phẳng (P) tiếp xúc với (S)⇔d(I,(P))=R.
⇔|5n−11m+5|√1+m2+n2=6√2⇔(5n−11m+5)2=72(1+m2+n2)⇔49m2−47n2−110mn+50n−110m−47=0 (1)
Ta có: [→IA,→IB]=(156;70;−24).
Gọi →n1 là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (AIB), chọn →n1=(13;5;−2).
Do (AIB)⊥(P)⇔→n1.→n=0⇔13+5m−2n=0 (2).
Thế (2) vào (1) ta được phương trình:
2079m2+8910m+6831=0⇔[m=−1m=−68312079(l)
Thay m=-1 vào (2) suy ra: n=4.
Vậy m.n=−4.
Cách 2:
Mặt cầu (S) có tâm I(5;-3;7) và bán kính R=6√2.
Mặt phẳng (P) qua A và nhận →n=(1;m;n) làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình x+my+nz−8m−2n=0.
Mặt phẳng (P) tiếp xúc với (S):
⇔d(I,(P))=R⇔|5n−11m+5|√1+m2+n2=6√2⇔d(B,(P))=|21n−15m+9|√1+m2+n2=|5n−11m+5−4m+16n+4|√1+m2+n2≤|5n−11m+5|+4|4n−m+1|√1+m2+n2≤6√2+4√(42+(−1)2+12)(n2+m2+1)√1+m2+n2=18√2
Dấu bằng xảy ra khi n4=m−1=11⇔m=−1; n=4.
Vậy m.n=-4.
Gói VIP thi online tại VietJack (chỉ 400k/1 năm học), luyện tập gần 1 triệu câu hỏi có đáp án chi tiết
Cho hàm số y=f(x). Hàm số y=f'(x) có đồ thị như hình bên. Hàm số y=g(x)=f(2−x) đồng biến trên khoảng:
Cho hàm số y=x3−3x2+6x+1 có đồ thị (C). Tiếp tuyến của (C) có hệ số góc nhỏ nhất là bao nhiêu?
Cho đồ thị của ba hàm số y=ax; y=bx; y=cx như hình vẽ. Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề đúng?
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a. Tam giác SAB vuông tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi α là góc tạo bởi đường thẳng SD và mặt phẳng (SBC), với α<450. Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp S.ABCD.
Cho hai số phức z1,z2 thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau: |z−1|=√34; |z+1+mi|=|z+m+2i| (trong đó m là số thực) và sao cho |z1−z2| là lớn nhất. Khi đó giá trị của |z1+z2| bằng:
Cho hàm số y=f(x) xác định trên ℝ\{−1}, liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như sau:
Số nghiệm thực của phương trình 2f(x)-4=0 là:
Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số y=√x, trục hoành và đường thẳng x=4. Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng (H) quanh trục bằng
Cho hàm số y=4x−5x+1 có đồ thị (H). Gọi M(x0;y0) với x0<0 là một điểm thuộc đồ thị (H) thỏa mãn tổng khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận của (H) bằng 6. Tính giá trị biểu thức S=(x0+y0)2?
Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [0;π2] và f(x)+f(π2−x)=cosx(1+sinx)2,∀x∈[0;π2]. Tính tích phân I=π2∫0f(x)dx
Cho hàm số f(x) xác định trên ℝ\{−1;2}, liên tục trên các khoảng xác định của nó và có bảng biến thiên như sau:
Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y=1f(x)−1 là:
Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm f(x)=sin2x và F(π4)=1. Tính F(π6)?
Cho hàm số f(x) liên tục và có đạo hàm trên ℝ. Có đồ thị hàm số y=f'(x) như hình vẽ bên. Biết phương trình 2f(x)>x2+m đúng với mọi x∈[−2;3] khi và chỉ khi: