Cho tứ diện ABCD có AB=CD=4,BC=AD=5,AC=BD=6. M là điểm thay đổi trong tâm giác ABC. Các đường thẳng qua M song song với AD,BD,CD tương ứng cắt mặt phẳng (BCD),(ACD),(ABD) tại A′,B′,C′. Giá trị lớn nhất của MA′.MB′.MC′ là
A.\[\frac{{40}}{9}\]
B. \[\frac{{24}}{9}\]
C. \[\frac{{30}}{9}\]
D. \[\frac{{20}}{9}\]
Giải bởi Vietjack
Trong tam giác ABC, kéo dài AM,BM,CM cắt các đoạn thẳng BC,CA,AB lần lượt tại H,G,F.
+) Trong mặt phẳng (HAD), kẻ MA′//AD.
+) Trong mặt phẳng (GBD), kẻ MB′//BD.
+) Trong mặt phẳng (FCD), kẻ MC′//CD.
Từ đó ta được các điểm A′,B′,C′ cần tìm.
Theo định lý Ta – let ta có: \[\frac{{MA'}}{{AD}} = \frac{{HM}}{{HA}} \Rightarrow MA' = 5.\frac{{MH}}{{AH}}\]
\[\frac{{MB'}}{{BD}} = \frac{{GM}}{{GB}} \Rightarrow MB' = 6.\frac{{MG}}{{BG}};\frac{{MC'}}{{CD}} = \frac{{FM}}{{FC}} \Rightarrow MC' = 4.\frac{{MF}}{{CF}}\]
\[ \Rightarrow MA'.MB'.MC' = 120.\frac{{MH}}{{AH}}.\frac{{MG}}{{BG}}.\frac{{MF}}{{CF}}\]
Trong tam giác ABC ta có:\[1 = \frac{{MH}}{{AH}} + \frac{{MG}}{{BG}} + \frac{{MF}}{{CF}} \ge 3\sqrt[3]{{\frac{{MH}}{{AH}}.\frac{{MG}}{{BG}}.\frac{{MF}}{{CF}}}}\]
\[ \Rightarrow \frac{{MH}}{{AH}}.\frac{{MG}}{{BG}}.\frac{{MF}}{{CF}} \le \frac{1}{{27}}\]
Do đó\[MA'.MB'.MC' = 120.\frac{{MH}}{{AH}}.\frac{{MG}}{{BG}}.\frac{{MF}}{{CF}} \le 120.\frac{1}{{27}} = \frac{{40}}{9}\]
\[ \Rightarrow {\left( {MA'.MB'.MC'} \right)_{\max }} = \frac{{40}}{9}\]
Đáp án cần chọn là: A
Gói VIP thi online tại VietJack (chỉ 400k/1 năm học), luyện tập gần 1 triệu câu hỏi có đáp án chi tiết
Cho hình chóp S.ABC, M là một điểm nằm trong tam giác ABC. Các đường thẳng qua MM và song song với SA,SB,SC cắt các mặt (SBC),(SAC),(SAB) lần lượt tại A′,B′,C′. \[\frac{{MA'}}{{SA}} + \frac{{MB'}}{{SB}} + \frac{{MC'}}{{SC}}\] có giá trị không đổi bằng bao nhiêu khi M di động trong tam giác ABC?
Cho đường thẳng d và mặt phẳng (α) như hình vẽ, số điểm chung của d và (α) là:
Cho hình chóp S.ABCD. Gọi M,N lần lượt là trọng tâm của tam giác SAB và ABC.ABC. Khi đó MN song song với
Nếu đường thẳng \[d//\left( \alpha \right)\;\] và \[d\prime \subset (\alpha )\;\] thì d và d′ có thể:
Nếu một đường thẳng d không nằm trong mặt phẳng (α) mà nó song song với đường thẳng d′ trong (α) thì:
Cho tứ diện ABCD, gọi G là trọng tâm tam giác ACD, M thuộc đoạn thẳng BC sao cho CM=2MB. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau?
Cho tứ diện ABCD. Gọi \[{G_1},{G_2}\;\] lần lượt là trọng tâm các tam giác BCD và ACD. Chọn câu sai ?
Cho đường thẳng d song song với mặt phẳng (α), nếu mặt phẳng (β) chứa d mà cắt (α) theo giao tuyến d′ thì:
Cho tứ diện đều SABC. Gọi I là trung điểm của AB,M là một điểm di động trên đoạn AI. Gọi (P) là mặt phẳng qua M và song song với SI,IC, biết AM=x. Thiết diện tạo bởi mp(P) và tứ diện SABC có chu vi là:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M,N,P,Q, lần lượt là các điểm nằm trên các cạnh BC,SC,SD,AD sao cho MN//BS,NP//CD,MQ//CD. Hỏi PQ song song với mặt phẳng nào sau đây?
Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (P). Khi đó, số đường thẳng phân biệt nằm trong (P) và song song với a có thể là:
