Giải phương trình bằng cách đặt ẩn phụ:

$$\begin{gathered} \mathrm{a}) 3.{({\mathrm{x}}^2+\mathrm{x})}^2 -2({\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}) -1 = 0 \\ \mathrm{b}) {({\mathrm{x}}^2-4\mathrm{x}+2)}^2+{\mathrm{x}}^2-4\mathrm{x}-4=0 \\ \mathrm{c}) \mathrm{x}-\sqrt{\mathrm{x}}=5\sqrt{\mathrm{x}} +7 \\ \mathrm{d}) \frac{\mathrm{x}}{\mathrm{x}+1}-10.\frac{\mathrm{x}+1}{\mathrm{x}}=3 \end{gathered}$$

Hướng dẫn:

a) Đặt t = x² + x, ta có phương trình 3t² - 2t - 1 = 0. Giải phương trình này, ta tìm được hai giá trị của t. Thay mỗi giá trị của t vừa tìm được vào đẳng thức t = x² +x, ta được một phương trình của ẩn x. Giải mỗi phương trình này sẽ tìm được giá trị của x.

$\mathrm{d}) \mathrm{Đặt} \frac{\mathrm{x}+1}{\mathrm{x}}\mathrm{hoặc} \frac{\mathrm{x}}{\mathrm{x}+1}=\mathrm{t}$

a) 3.(x² + x)² – 2(x² + x) – 1 = 0 (1)

Đặt t = x² + x,

Khi đó (1) trở thành : 3t² – 2t – 1 = 0 (2)

Giải (2) : Có a = 3 ; b = -2 ; c = -1

⇒ a + b + c = 0

⇒ (2) có hai nghiệm t₁ = 1; t₂ = c/a = -1/3.

+ Với t = 1 ⇒ x² + x = 1 ⇔ x² + x – 1 = 0 (*)

Có a = 1; b = 1; c = -1 ⇒ Δ = 1² – 4.1.(-1) = 5 > 0

(*) có hai nghiệm

Có a = 3; b = 3; c = 1 ⇒ Δ = 3² – 4.3.1 = -3 < 0

⇒ (**) vô nghiệm.

Vậy phương trình (1) có tập nghiệm 

b) (x² – 4x + 2)² + x² – 4x – 4 = 0

⇔ (x² – 4x + 2)² + x² – 4x + 2 – 6 = 0 (1)

Đặt x² – 4x + 2 = t,

Khi đó (1) trở thành: t² + t – 6 = 0 (2)

Giải (2): Có a = 1; b = 1; c = -6

⇒ Δ = 1² – 4.1.(-6) = 25 > 0

⇒ (2) có hai nghiệm

+ Với t = 2 ⇒ x² – 4x + 2 = 2

⇔ x² – 4x = 0

⇔ x(x – 4) = 0

⇔ x = 0 hoặc x = 4.

+ Với t = -3 ⇒ x² – 4x + 2 = -3

⇔ x² – 4x + 5 = 0 (*)

Có a = 1; b = -4; c = 5 ⇒ Δ’ = (-2)² – 1.5 = -1 < 0

⇒ (*) vô nghiệm.

Vậy phương trình ban đầu có tập nghiệm S = {0; 4}.

Khi đó (1) trở thành: t² – 6t – 7 = 0 (2)

Giải (2): Có a = 1; b = -6; c = -7

⇒ a – b + c = 0

⇒ (2) có nghiệm t₁ = -1; t₂ = -c/a = 7.

Đối chiếu điều kiện chỉ có nghiệm t = 7 thỏa mãn.

+ Với t = 7 ⇒ √x = 7 ⇔ x = 49 (thỏa mãn).

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 49.

⇔ t² – 10 = 3t ⇔ t² – 3t – 10 = 0 (2)

Giải (2): Có a = 1; b = -3; c = -10

⇒ Δ = (-3)² - 4.1.(-10) = 49 > 0

⇒ (2) có hai nghiệm:

Cả hai nghiệm đều thỏa mãn điều kiện xác định.

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm