Cho các số thực dương a,b,c khác 1 thỏa mãn
Gọi M,m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức \[P = lo{g_a}ab - lo{g_b}bc\]. Tính giá trị của biểu thức \[S = 2{m^2} + 9{M^2}\].
A.S=28
B.S=25
C.S=26
D.S=27
Giải bởi Vietjack
Ta có:
\[\begin{array}{l}\log _a^2b + \log _b^2c + 2{\log _b}\frac{c}{b} = {\log _a}\frac{c}{{{a^3}b}}\\ \Leftrightarrow \log _a^2b + \log _b^2c + 2{\log _b}c - 2 = {\log _a}c - {\log _a}\left( {{a^3}b} \right)\\ \Leftrightarrow \log _a^2b + \log _b^2c + 2{\log _b}c - 2 = {\log _a}c - 3 - {\log _a}b\\ \Leftrightarrow \log _a^2b + \log _b^2c = {\log _a}b.{\log _b}c - 2{\log _b}c - {\log _a}b - 1\left( 1 \right)\end{array}\]
Đặt \[x = {\log _a}b,\,\,y = {\log _b}c\] khi đó ta có:
\[\begin{array}{*{20}{l}}{P = {{\log }_a}ab - {{\log }_b}bc}\\{P = 1 + {{\log }_a}b - 1 - {{\log }_b}c}\\{P = x - y \Rightarrow y = x - P}\end{array}\]Thay x,y vào (1) ta có:
\[\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} + {y^2} = xy - 2y - x - 1}\\{ \Leftrightarrow {x^2} + {{\left( {x - P} \right)}^2} = x\left( {x - P} \right) - 2\left( {x - P} \right) - x - 1}\\{ \Leftrightarrow {x^2} + {x^2} - 2Px + {P^2} = {x^2} - Px - 2x + 2P - x - 1}\\{ \Leftrightarrow {x^2} - \left( {P - 3} \right)x + {P^2} - 2P + 1 = 0\,\,\left( 2 \right)}\end{array}\]
Để tồn tại các số a,b,c thỏa mãn yêu cầu bài toán thì phương trình (2) phải có nghiệm.
\[\begin{array}{*{20}{l}}{ \Rightarrow {\rm{\Delta }} \ge 0}\\{ \Leftrightarrow {{\left( {P - 3} \right)}^2} - 4\left( {{P^2} - 2P + 1} \right) \ge 0}\\{ \Leftrightarrow {P^2} - 6P + 9 - 4{P^2} + 8P - 4 \ge 0}\\{ \Leftrightarrow - 3{P^2} + 2P + 5 \ge 0}\\{ \Leftrightarrow - 1 \le P \le \frac{5}{3}}\end{array}\]
Vậy\[m = - 1,\,\,M = \frac{5}{3} \Rightarrow S = 2{m^2} + 9{M^2} = 2.{\left( { - 1} \right)^2} + 9.{\left( {\frac{5}{3}} \right)^2} = 27\]
Đáp án cần chọn là: D
Gói VIP thi online tại VietJack (chỉ 400k/1 năm học), luyện tập gần 1 triệu câu hỏi có đáp án chi tiết
Giải phương trình \[{\log _3}\left( {x + 2} \right) + {\log _9}{\left( {x + 2} \right)^2} = \frac{5}{4}\]
Cho phương trình \[{11^x} + m = {\log _{11}}\left( {x - m} \right)\]với mm là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của \[m \in \left( { - 205;205} \right)\] để phương trình đã cho có nghiệm?
Giải phương trình \[{\log _3}\left( {2x - 1} \right) = 2\] , ta có nghiệm là:
Giải phương trình: \[\mathop \smallint \limits_0^2 \left( {t - {{\log }_2}x} \right)dt = 2{\log _2}\frac{2}{x}\] (ẩn x)
Giải phương trình \[{\log _2}\left( {{2^x} - 1} \right).{\log _4}\left( {{2^{x + 1}} - 2} \right) = 1\] Ta có nghiệm:
Tìm tập nghiệm S của phương trình \[lo{g_2}({x^2} - 4x + 3) = lo{g_2}(4x - 4)\]
Tìm tập nghiệm S của phương trình \[{\log _2}\left( {x - 1} \right) + {\log _2}\left( {x + 1} \right) = 3\].
Tập nghiệm của phương trình \[{\log _2}\left( {{x^2} - 1} \right) = {\log _2}2x\] là:
Phương trình \[{\log _4}\left( {{{3.2}^x} - 1} \right) = x - 1\] có hai nghiệm là \[{x_1};{x_2}\;\] thì tổng \[{x_1} + {x_2}\;\] là:
Hỏi có bao nhiêu giá trị m nguyên trong đoạn \[\left[ { - 2017;2017} \right]\;\]để phương trình \[logmx = 2log(x + 1)\;\;\] có nghiệm duy nhất?
Cho x,y là các số thực dương thỏa mãn \[lo{g_2}\frac{{3x + 3y + 4}}{{{x^2} + {y^2}}} = (x + y - 1)(2x + 2y - 1) - 4\left( {xy + 1} \right)\] Giá trị lớn nhất của biểu thức \[P = \frac{{5x + 3y - 2}}{{2x + y + 1}}\;\] bằng:
Tìm m để phương trình \[mln(1 - x) - lnx = m\] có nghiệm \[x \in \left( {0;1} \right)\]
Phương trình sau đây có bao nhiêu nghiệm\[\left( {{x^2} - 4} \right)\left( {{{\log }_2}x + {{\log }_3}x + {{\log }_4}x + ... + {{\log }_{19}}x - \log _{20}^2x} \right) = 0\]
