Xét các số thực dương a và b thỏa mãn \[{\log _3}\left( {1 + ab} \right) = \frac{1}{2} + {\log _3}\left( {b - a} \right)\]. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \[P = \frac{{\left( {1 + {a^2}} \right)\left( {1 + {b^2}} \right)}}{{a\left( {a + b} \right)}}\] bằng:

Bước 1: Tìm điều kiện và tìm mối quan hệ giữa a và b từ đẳng thức bài cho.

ĐKXĐ:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{b - a > 0}\\{a,b > 0}\end{array}} \right.\)

Ta có:

\[\begin{array}{*{20}{l}}{{{\log }_3}\left( {1 + ab} \right) = \frac{1}{2} + {{\log }_3}\left( {b - a} \right)}\\{ \Leftrightarrow {{\log }_3}\left( {1 + ab} \right) - {{\log }_3}\left( {b - a} \right) = \frac{1}{2}}\\{ \Leftrightarrow {{\log }_3}\frac{{1 + ab}}{{b - a}} = \frac{1}{2}}\\{ \Leftrightarrow \frac{{1 + ab}}{{b - a}} = \sqrt 3 }\\{ \Leftrightarrow 1 + ab = \sqrt 3 \left( {b - a} \right)}\\{ \Leftrightarrow \frac{1}{a} + b = \sqrt 3 \left( {\frac{b}{a} - 1} \right)}\end{array}\]

Bước 2: Sử dụng BĐT Cô-si để đánh giá\[\frac{a}{b}\]

Áp dụng BĐT Cô-si ta có\[\frac{1}{a} + b \ge 2\sqrt {\frac{b}{a}} \] nên\[\sqrt 3 \left( {\frac{b}{a} - 1} \right) \ge 2\sqrt {\frac{b}{a}} \Leftrightarrow \sqrt 3 \frac{b}{a} - 2\sqrt {\frac{b}{a}} - \sqrt 3 \ge 0\]

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sqrt {\frac{b}{a}} \ge \sqrt 3 }\\{\sqrt {\frac{b}{a}} \le - \frac{1}{{\sqrt 3 }}(Loai)}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \sqrt {\frac{b}{a}} \ge \sqrt 3 \Leftrightarrow \frac{b}{a} \ge 3\)

Bước 3: Sử dụng BĐT Cô-si để đánh giá P.

Ta có: \[P = \frac{{\left( {1 + {a^2}} \right)\left( {1 + {b^2}} \right)}}{{a\left( {a + b} \right)}} = \frac{{1 + {a^2} + {b^2} + {a^2}{b^2}}}{{a\left( {a + b} \right)}}\]

Áp dụng BĐT Cô-si ta có \[1 + {a^2}{b^2} \ge 2\sqrt {{a^2}{b^2}} = 2ab\] nên

\[1 + {a^2} + {b^2} + {a^2}{b^2} \ge {a^2} + {b^2} + 2ab = {\left( {a + b} \right)^2}\]

\[ \Rightarrow P = \frac{{1 + {a^2} + {b^2} + {a^2}{b^2}}}{{a\left( {a + b} \right)}} \ge \frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{{a\left( {a + b} \right)}} = \frac{{a + b}}{a} = 1 + \frac{b}{a} \ge 4\]

Vậy

\[{P_{min}} = 4 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{1}{a} = b}\\{\frac{b}{a} = 3}\\{a,b > 0,b - a > 0}\end{array}} \right.\]

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{1}{a} = 3a}\\{b = 3a}\\{a,b > 0,b - a > 0}\\{}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = \frac{1}{{\sqrt 3 }}}\\{b = \sqrt 3 }\end{array}} \right.\)