Cho parabol $\left( P \right):y = {x^2} + 1$và đường thẳng $(d):y = mx + 2$. Biết rằng tồn tại m để diện tích hình phẳng giới hạn bới (P)  và (d)  đạt giá trị nhỏ nhất, tính diện tích nhỏ nhất đó.

Cho đồ thị hàm số y=f(x) như hình vẽ dưới đây. Diện tích S của hình phẳng (phần gạch chéo) được xác định bởi

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi nửa đường tròn ${x^2} + {y^2} = 2,y > 0$ và parabol $y = {x^2}\;$ bằng:

Cho hàm số $y = {x^4} - 3{x^2} + m$ có đồ thị là (Cm) (m là tham số thực). Giả sử (Cm) cắt trục Ox tại 4 điểm phân biệt. Gọi ${S_1},{S_2}\;$ là diện tích của hai hình phẳng nằm dưới trục Ox và S3 là diện tích của hình phẳng nằm trên trục Ox được tạo bởi (Cm) với trục Ox. Biết rằng tồn tại duy nhất giá trị $m = \frac{a}{b}$ (với $a,b \in {\mathbb{N}^*}\;$ và tối giản) để ${S_1} + {S_2} = {S_3}$. Giá trị của 2a−b bằng:

Công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f\left( x \right),y = g\left( x \right)$ và hai đường thẳng $x = a,x = b(a < b)\;$ là:

Cho hai hàm số $f\left( x \right) = m{x^3} + n{x^2} + px - \frac{5}{2}\left( {m,n,p \in \mathbb{R}} \right)$và$g\left( x \right) = {x^2} + 3x - 1$ có đồ thị cắt nhau tại ba điểm có hoành độ lần lượt là −3;−1;1( tham khảo hình vẽ bên). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số f(x)và g(x) bằng

Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số $y = {x^2} - 4\;$ và $y = x - 4$

Gọi S  là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường  $y = {x^3},y = 2 - x$và y = 0. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

Công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f\left( x \right) = {x^2} - 1$, trục hoành và hai đường thẳng x=−1;x=−3 là:

Cho hai hàm số $f(x) = - x\;$ và $g(x) = {e^x}$. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số $y = f(x),y = g(x)\;$ và hai đường thẳng x=0,x=e là:

Công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f(x), đường thẳng y=0 và hai đường thẳng $x = a,x = b(a < b)$ là:

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số $y = {x^3} - x;y = 2x$ và các đường thẳng $x = - 1;x = 1\;$ được xác định bởi công thức:

Đề thi THPT QG - 2021 - mã 101

Cho hàm số $f(x) = {x^3} + a{x^2} + bx + c\;$ với a,b,c là các số thực. Biết hàm số $g(x) = f(x) + f\prime (x) + f\prime \prime (x)\;$ có hai giá trị cực trị là −3 và 6. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = \frac{{f(x)}}{{g(x) + 6}}\;v\`a \;y = 1$ bằng

Tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = (x - 1){e^x}$, trục hoành, đường thẳng x=0 và x=1

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường: $y = \left| {{x^2} - 4x + 3} \right|\,\,\,;\,\,y = x + 3$

Cho hàm số f(x) có đồ thị trên đoạn $\left[ { - 3;3} \right]\;$là đường gấp khúc ABCD như hình vẽ.

Tính $\mathop \smallint \limits_{ - 3}^3 f\left( x \right)dx$