Cho parabol \[\left( P \right):y = {x^2} + 1\]và đường thẳng \[(d):y = mx + 2\]. Biết rằng tồn tại m để diện tích hình phẳng giới hạn bới (P) và (d) đạt giá trị nhỏ nhất, tính diện tích nhỏ nhất đó.
A.\[S = \frac{8}{3}\]
B. \[S = \frac{4}{3}\]
C. \[S = 4\]
D. \[S = \frac{{16}}{9}\]
Giải bởi Vietjack
Phương trình hoành độ giao điểm dd và (P)
Có:\[{x^2} + 1 = mx + 2 \Leftrightarrow {x^2} - mx - 1 = 0(1) \Rightarrow {\rm{\Delta }} = {m^2} + 4 > 0\]
Phương trình trên luôn có 2 nghiệm phân biệt.
Vậy dd luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A,B với mọi m.
Giả sử A,B lần lượt có hoành độ là a,b nên\[A\left( {a;ma + 2} \right)\]và\[B\left( {b;mb + 2} \right)(a < b)\]
Với x thuộc\[x \in \left( {a;b} \right)\]thì \[mx + 2 \ge {x^2} + 1\]
Do đó, diện tích hình phẳng giới hạn bởi d và (P)
\(\begin{array}{l}S = \int\limits_a^b {(mx + 2 - x2 - 1)dx} \\ = \int\limits_a^b {(mx - {x^2} + 1)dx = \left( {\frac{{m{x^2}}}{2} - \frac{{{x^3}}}{3} + x} \right)} \left| {_a^b} \right.\end{array}\)
\[ = \left( {b - a} \right)\left[ {\frac{m}{2}(a + b) + 1 - \frac{1}{3}({a^2} + {b^2} + ab)} \right]\]
\[ = (b - a)\left[ {\frac{m}{2}\left( {b + a} \right) + 1 - \frac{1}{3}{{\left( {a + b} \right)}^2} + \frac{1}{3}ab} \right]\]
\[ \Rightarrow {S^2} = {(b - a)^2}{\left[ {\frac{m}{2}(b + a) + 1 - \frac{1}{3}{{(a + b)}^2} + \frac{1}{3}ab} \right]^2}\]
\[ = \left[ {{{\left( {a + b} \right)}^2} - 4ab} \right]{\left[ {\frac{m}{2}\left( {b + a} \right) + 1 - \frac{1}{3}{{\left( {a + b} \right)}^2} + \frac{1}{3}ab} \right]^2}\]
Vì a,b là nghiệm của pt (1) nên a+b=m và ab=−1
Suy ra
\[{S^2} = \left( {{m^2} + 4} \right){\left( {\frac{{{m^2}}}{6} + \frac{2}{3}} \right)^2} \ge 4.\frac{4}{9} = \frac{{16}}{9} \Rightarrow S \ge \sqrt {\frac{{16}}{9}} = \frac{4}{3}\,khi\,m = 0\]
Đáp án cần chọn là: B
Gói VIP thi online tại VietJack (chỉ 400k/1 năm học), luyện tập gần 1 triệu câu hỏi có đáp án chi tiết
Cho đồ thị hàm số y=f(x) như hình vẽ dưới đây. Diện tích S của hình phẳng (phần gạch chéo) được xác định bởi
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi nửa đường tròn \[{x^2} + {y^2} = 2,y > 0\] và parabol \[y = {x^2}\;\] bằng:
Cho hàm số \[y = {x^4} - 3{x^2} + m\] có đồ thị là (Cm) (m là tham số thực). Giả sử (Cm) cắt trục Ox tại 4 điểm phân biệt. Gọi \[{S_1},{S_2}\;\] là diện tích của hai hình phẳng nằm dưới trục Ox và S3 là diện tích của hình phẳng nằm trên trục Ox được tạo bởi (Cm) với trục Ox. Biết rằng tồn tại duy nhất giá trị \[m = \frac{a}{b}\] (với \[a,b \in {\mathbb{N}^*}\;\] và tối giản) để \[{S_1} + {S_2} = {S_3}\]. Giá trị của 2a−b bằng:
Công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \[y = f\left( x \right),y = g\left( x \right)\] và hai đường thẳng \[x = a,x = b(a < b)\;\] là:
Cho hai hàm số \[f\left( x \right) = m{x^3} + n{x^2} + px - \frac{5}{2}\left( {m,n,p \in \mathbb{R}} \right)\]và\(g\left( x \right) = {x^2} + 3x - 1\) có đồ thị cắt nhau tại ba điểm có hoành độ lần lượt là −3;−1;1( tham khảo hình vẽ bên). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số f(x)và g(x) bằng
Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số \[y = {x^2} - 4\;\] và \[y = x - 4\]
Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \[y = {x^3},y = 2 - x\]và y = 0. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
Cho hai hàm số \[f(x) = - x\;\] và \[g(x) = {e^x}\]. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số \[y = f(x),y = g(x)\;\] và hai đường thẳng x=0,x=e là:
Công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f(x), đường thẳng y=0 và hai đường thẳng \[x = a,x = b(a < b)\] là:
Cho hàm số f(x) có đồ thị trên đoạn \[\left[ { - 3;3} \right]\;\]là đường gấp khúc ABCD như hình vẽ.
Tính \[\mathop \smallint \limits_{ - 3}^3 f\left( x \right)dx\]
Công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \[y = f\left( x \right) = {x^2} - 1\], trục hoành và hai đường thẳng x=−1;x=−3 là:
Tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \[y = (x - 1){e^x}\], trục hoành, đường thẳng x=0 và x=1
Đề thi THPT QG - 2021 - mã 101
Cho hàm số \[f(x) = {x^3} + a{x^2} + bx + c\;\] với a,b,c là các số thực. Biết hàm số \[g(x) = f(x) + f\prime (x) + f\prime \prime (x)\;\] có hai giá trị cực trị là −3 và 6. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \[y = \frac{{f(x)}}{{g(x) + 6}}\;v\`a \;y = 1\] bằng
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số \[y = {x^3} - x;y = 2x\] và các đường thẳng \[x = - 1;x = 1\;\] được xác định bởi công thức:
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường: \[y = \left| {{x^2} - 4x + 3} \right|\,\,\,;\,\,y = x + 3\]
