Đề thi THPT QG - 2021 - mã 101

Xét các số phức z,w thỏa mãn $\left| z \right| = 1\;$và $\left| w \right| = 2$. Khi $\left| {z + i\overline {\rm{w}} - 6 - 8i} \right|$ đạt giá trị nhỏ nhất, $\left| {z - w} \right|\;$ bằng? 

Cách 1: Dùng phương pháp hình học →→ Kỹ năng dồn số phức.

$P = \left| {z + i\,{\rm{\bar w}} - 6 - 8i} \right| = \left| {\left( {z - 6 - 8i} \right) - \left( { - i\bar w} \right)} \right| = \left| {u - v} \right|$

Trong đó:$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{u = z - 6 - 8i}\\{v = - i\overline {\rm{w}} }\end{array}} \right.$ u có điểm biểu diễn là A, v có điểm biểu diễn là B.

$\Rightarrow P = \left| {u - v} \right| = AB \Rightarrow$Cần đạt Min.

$\left| z \right| = 1 \Leftrightarrow \left| {\left( {z - 6 - 8i} \right) + 6 + 8i} \right| = 1 \Leftrightarrow \left| {u + 6 + 8i} \right| = 1$

⇒ Tập hợp điểm A biểu diễn số phức uu là đường tròn: $\left( {{C_1}} \right):\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{I( - 6; - 8)}\\{{R_1} = 1}\end{array}} \right.$

$\left| w \right| = 2 \Leftrightarrow \left| {\bar w} \right| = 2 \Leftrightarrow \left| { - i} \right|.\left| {\bar w} \right| = \left| { - i} \right|.2 \Rightarrow \left| { - i\bar w} \right| = 2 \Leftrightarrow \left| v \right| = 2$

⇒ Tập hợp điểm B biểu diễn số phức v là đường tròn$\;({C_2}):\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{O(0;0)}\\{{R_2} = 2}\end{array}} \right.$

Có$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{IA = {R_1} = 1}\\{OB = {R_2} = 2}\\{OI = 10}\end{array}} \right.$

 

$\Rightarrow A{B_{\min }} = IO - {R_1} - {R_2} = 10 - 1 - 2 = 7$

Min đạt được khi:$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\overrightarrow {OA} = \frac{9}{{10}}\overrightarrow {OI} \Rightarrow A\left( {\frac{{ - 27}}{5};\frac{{ - 36}}{5}} \right) \Rightarrow u = - \frac{{27}}{5} - \frac{{36}}{5}i}\\{\overrightarrow {OB} = \frac{1}{5}\overrightarrow {OI} \Rightarrow B\left( {\frac{{ - 6}}{5};\frac{{ - 8}}{5}} \right) \Rightarrow v = - \frac{6}{5} - \frac{8}{5}i}\end{array}} \right.$

$\Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{z = u + 6 + 8i = \frac{3}{5} + \frac{4}{5}i}\\{ - i\overline {\rm{w}} = v \Rightarrow \overline {\rm{w}} = \frac{v}{{ - i}} = \frac{{ - \frac{6}{5} - \frac{8}{5}i}}{{ - i + \frac{6}{5}i}} = \frac{8}{5} - \frac{6}{5}i \Rightarrow {\rm{w}} = \frac{8}{5}}\end{array}} \right.$

$\Rightarrow \left| {z - w} \right| = \left| {\left( {\frac{3}{5} + \frac{4}{5}i} \right) - \left( {\frac{8}{5} + \frac{6}{5}i} \right)} \right| = \frac{{\sqrt {29} }}{5}$

Cách 2: Phương pháp dùng BĐT vectơ

Ta có BĐT cho 3 vectơ$\vec a,\,\,\vec b,\,\,\vec c$thì$\left| {\vec a + \vec b + \vec c} \right| \ge \left| {\vec a} \right| - \left| {\vec b} \right| - \left| {\vec c} \right|$

Dấu “=” xảy ra ⇔$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left| {\overrightarrow a } \right| \ge \left| {\overrightarrow b } \right| + \left| {\overrightarrow c } \right|}\\{\overrightarrow a = k\overrightarrow b }\\{\overrightarrow a = m\overrightarrow c }\end{array}} \right.(k;m < 0)$

* Đặt$P = \left| {z + i\,{\rm{\bar w}} - 6 - 8i} \right| = \left| {\underbrace {\left( { - 6 - 8i} \right)}_{ = \overrightarrow a } + \underbrace z_{ = \overrightarrow b } + \underbrace {i\overline {\rm{w}} }_{ = \overrightarrow c }} \right|$

Đặt$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{( - 6 - 8i) \Leftrightarrow \overrightarrow a ( - 6; - 8) \Rightarrow \left| {\overrightarrow a } \right| = 10}\\{z \Leftrightarrow \overrightarrow b \Rightarrow \left| {\overrightarrow b } \right| = 1}\\{i\overline {\rm{w}} \Leftrightarrow \overrightarrow c \Rightarrow \left| {\overrightarrow c } \right| = \left| {i\overline {\rm{w}} } \right| = \left| {\rm{w}} \right| = 2}\end{array}} \right.$

$\Rightarrow P = \left| {\vec a + \vec b + \vec c} \right| \ge \left| {\vec a} \right| - \left| {\vec b} \right| - \left| {\vec c} \right| = 10 - 1 - 2 = 7$

$\Rightarrow {P_{\min }} = 7$đạt Min khi$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left| {\overrightarrow a } \right| \ge \left| {\overrightarrow b } \right| + \left| {\overrightarrow c } \right|(dung\,do10 > 1 + 2)}\\{\overrightarrow a = - 10\overrightarrow b \Leftrightarrow \overrightarrow b = - \frac{1}{{10}}\overrightarrow a = \left( {\frac{3}{5};\frac{4}{5}} \right)}\\{\overrightarrow a = - 5\overrightarrow c \Leftrightarrow \overrightarrow c = - \frac{1}{5}\overrightarrow a = \left( {\frac{6}{5};\frac{8}{5}} \right)}\end{array}} \right.$

$\Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{z = \frac{3}{5} + \frac{4}{5}i}\\{i\overline {\rm{w}} = \frac{6}{5} + \frac{8}{5}i \Leftrightarrow {\rm{w}} = \frac{8}{5} + \frac{6}{5}i}\end{array}} \right.$

$\Rightarrow \left| {z - w} \right| = \left| {\left( {\frac{3}{5} + \frac{4}{5}i} \right) - \left( {\frac{8}{5} + \frac{6}{5}i} \right)} \right| = \frac{{\sqrt {29} }}{5}$

Đáp án cần chọn là: D