Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh \(SA = \frac{{2a\sqrt 3 }}{3}\). Gọi DD là điểm đối xứng của B qua C. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABD
A.\[R = \frac{{a\sqrt {39} }}{7}\]
B. \[R = \frac{{a\sqrt {35} }}{7}\]
C. \[R = \frac{{a\sqrt {37} }}{6}\]
D. \[R = \frac{{a\sqrt {13} }}{7}\]
Giải bởi Vietjack
Do D đối xứng với C qua B nên có BC = DC = AC suy ra tam giác ABD là tam giác vuông tại A.
Kẻ đường thẳng d qua C vuông góc với đáy, đường thẳng này là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác đáy ABD .
Tam giác SAB cân tại S , gọi M là trung điểm AB,H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB
\[ \Rightarrow H \in SM;SM = \sqrt {S{A^2} - A{M^2}} = \frac{{a\sqrt {13} }}{{2\sqrt 3 }}\]
\[SH = \frac{{AB.SA.SB}}{{4.{S_{SAB}}}} = \frac{{{{\left( {\frac{{2a}}{{\sqrt 3 }}} \right)}^2}.a}}{{4.\frac{1}{2}.a.AM}} = \frac{{4a}}{{\sqrt {39} }}\]
Trong (SAC) dựng \[HI \bot SM\left( {I \in d} \right)(1)\]Mà \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{AB \bot SM}\\{AB \bot MC}\end{array}} \right. \Rightarrow AB \bot (SMC) \Rightarrow AB \bot HI(2)\)
Từ (1), (2) suy ra \[HI \bot \left( {SAB} \right)\] suy ra I là tâm đường tròn ngoại tiếp hình chóp S.ABD
Gọi \[Q = MS \cap CI\] xét tam giác SCM có\[\frac{{SM}}{{QM}} = \frac{{MG}}{{MC}} = \frac{1}{3} \Rightarrow QM = 3SM = 3.\frac{{a\sqrt {13} }}{{2\sqrt 3 }} = \frac{{a\sqrt {39} }}{2}\]
\[ \Rightarrow QH = QM - MS + HS = \frac{{a\sqrt {39} }}{2} - \frac{{a\sqrt {13} }}{{2\sqrt 3 }} + \frac{{4a}}{{\sqrt {39} }} = \frac{{17a}}{{\sqrt {39} }}\]
\[QC = \sqrt {Q{M^2} - M{C^2}} = 3a\]
Xét:\[{\rm{\Delta }}QHI \sim {\rm{\Delta }}QCM \Rightarrow \frac{{HI}}{{CM}} = \frac{{HQ}}{{QC}} \Rightarrow HI = \frac{{HQ.CM}}{{QC}} = \frac{{17a}}{{6\sqrt {13} }}\]
\[ \Rightarrow R = SI = \sqrt {H{I^2} + H{S^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{a\sqrt {17} }}{{6\sqrt {13} }}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{4a}}{{\sqrt {39} }}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt {37} }}{6}\]
Đáp án cần chọn là: C
Gói VIP thi online tại VietJack (chỉ 200k/1 năm học), luyện tập gần 1 triệu câu hỏi có đáp án chi tiết
Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên b. Công thức tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp là:
Ba đoạn thẳng SA, SB, SC đôi một vuông góc tạo với nhau thành một tứ diện SABC với SA = a, SB = 2a, SC = 3a . Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình tứ diện đó là
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD = 2a, \[SA \bot (ABCD)\;\] và SA = 2a. Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.
Một hình hộp chữ nhật có độ dài ba cạnh lần lượt là 2;2;1. Tìm bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật trên.
Cho mặt cầu (S1) có bán kính R1 mặt cầu (S2) có bán kính R2 = 2R1. Tính tỉ số diện tích của mặt cầu (S2) và (S1).
Trục đa giác đáy là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng đáy tại:
Công thức tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy là:
Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông cân đỉnh A, AB = AC = a, AA’ =\(a\sqrt 2 \). Diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện CA′B′C′ là:
Cho tứ diện ABCD có AB = a;AC = BC = AD = BD =\(\frac{{a\sqrt 3 }}{2}\). Gọi M,N là trung điểm của AB,CD. Góc giữa hai mặt phẳng (ABD);(ABC) là \[\alpha \] . Tính \[cos\alpha \] biết mặt cầu đường kính MN tiếp xúc với cạnh AD.
