Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có AA’ = 2a, BC = a. Gọi M là trung điểm BB’. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp M.A’B’C’ bằng:
A.\[\frac{{3\sqrt 3 a}}{8}\]
B. \[\frac{{\sqrt {13} a}}{2}\]
C. \[\frac{{\sqrt {21} a}}{6}\]
D. \[\frac{{2\sqrt 3 a}}{3}\]
Giải bởi Vietjack
Gọi O,O′ lần lượt là tâm tam giác đều ABC và A’B’C’, khi đó ta có OO’ là trục của (A’B’C’).
Gọi N là trung điểm của B’M, E là trung điểm của A’C’.
Qua N kẻ ta có:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{B\prime E \bot BB\prime }\\{NI\parallel B\prime E}\end{array} \Rightarrow NI \bot BB\prime \Rightarrow IM = IB\prime } \right.\)
Lại có \[I \in OO'\] nên \[IA' = IB' = IC'\]Do đó ta có\[IA' = IB' = IC' = IM\] nên I là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp M.A’B’C’, bán kính\[R = IB'\]
Ta có:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{NI\parallel B\prime O\prime }\\{B\prime N\parallel O\prime I}\end{array}} \right.\) nên O’B’NI là hình bình hành
\[ \Rightarrow O'I = B'N = \frac{1}{2}B'M = \frac{1}{4}BB' = \frac{a}{2}\]
Tam giác A’B’C’ đều cạnh a nên \[B'E = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow B'O = \frac{2}{3}B'E = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\]
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông O’B’I có:
\[IB' = \sqrt {O'{I^2} + B'{O^{\prime 2}}} = \sqrt {{{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt {21} }}{6}\]
Đáp án cần chọn là: C
Gói VIP thi online tại VietJack (chỉ 200k/1 năm học), luyện tập gần 1 triệu câu hỏi có đáp án chi tiết
Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên b. Công thức tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp là:
Ba đoạn thẳng SA, SB, SC đôi một vuông góc tạo với nhau thành một tứ diện SABC với SA = a, SB = 2a, SC = 3a . Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình tứ diện đó là
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD = 2a, \[SA \bot (ABCD)\;\] và SA = 2a. Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.
Một hình hộp chữ nhật có độ dài ba cạnh lần lượt là 2;2;1. Tìm bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật trên.
Cho mặt cầu (S1) có bán kính R1 mặt cầu (S2) có bán kính R2 = 2R1. Tính tỉ số diện tích của mặt cầu (S2) và (S1).
Trục đa giác đáy là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng đáy tại:
Công thức tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy là:
Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông cân đỉnh A, AB = AC = a, AA’ =\(a\sqrt 2 \). Diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện CA′B′C′ là:
Cho tứ diện ABCD có AB = a;AC = BC = AD = BD =\(\frac{{a\sqrt 3 }}{2}\). Gọi M,N là trung điểm của AB,CD. Góc giữa hai mặt phẳng (ABD);(ABC) là \[\alpha \] . Tính \[cos\alpha \] biết mặt cầu đường kính MN tiếp xúc với cạnh AD.
