Cho hình lập phương A(0;0;0),B(1;0;0),D(0;1;0),A′(0;0;1). Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB,CD. Khoảng cách giữa MN và A′C là:
A.\[\frac{1}{{\sqrt 2 }}\]
B. \[\frac{{\sqrt 2 }}{4}\]
C. \(\frac{1}{2}\)
D. \[\frac{3}{{\sqrt 2 }}\]
Giải bởi Vietjack
Gọi C(x;y;z) ta có
\(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{1 - 0 = x - 0}\\{0 - 0 = y - 1}\\{0 - 0 = z - 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{y = 1}\\{z = 0}\end{array}} \right. \Rightarrow C(1;1;0)\)
Lại có
\[\begin{array}{*{20}{l}}{M\left( {\frac{1}{2};0;0} \right),N\left( {\frac{1}{2};1;0} \right) \Rightarrow \overrightarrow {MN} = \left( {0;1;0} \right),\overrightarrow {A'C} = \left( {1;1; - 1} \right),\overrightarrow {MA'} = \left( { - \frac{1}{2};0;1} \right)}\\{ \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {A'C} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{l}}1\\1\end{array}}&{\begin{array}{*{20}{l}}0\\{ - 1}\end{array}}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{l}}0\\{ - 1}\end{array}}&{\begin{array}{*{20}{l}}0\\1\end{array}}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{l}}0\\1\end{array}}&{\begin{array}{*{20}{l}}1\\1\end{array}}\end{array}} \right|} \right) = \left( { - 1;0; - 1} \right)}\end{array}\]
Vậy
\[d\left( {MN,A'C} \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {A'C} } \right].\overrightarrow {MA'} } \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {A'C} } \right]} \right|}} = \frac{{\left| {\left( { - 1} \right).\left( { - \frac{1}{2}} \right) + 0.0 + \left( { - 1} \right).1} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {0^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{1}{{2\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt 2 }}{4}\]
Đáp án cần chọn là: B
Gói VIP thi online tại VietJack (chỉ 400k/1 năm học), luyện tập gần 1 triệu câu hỏi có đáp án chi tiết
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(0;0;2), B(1;0;0), C(2;2;0) và D(0;m;0). Điều kiện cần và đủ của m để khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD bằng 2 là:
Cho d,d′ là các đường thẳng có VTCP lần lượt là \[\overrightarrow u ,\overrightarrow u \prime ,M \in d,M\prime \in d\prime .\]Nếu \[\left[ {\vec u,\overrightarrow {u'} } \right]\overrightarrow {MM'} \ne 0\]thì:
Công thức tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d′ đi qua điểm M′ và có VTCP \(\overrightarrow {u'} \)là:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng \({d_1}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 - 3t}\\{y = - t}\\{z = 1 - 2t}\end{array}} \right.\) và \[{d_2}:\frac{{x - 1}}{{ - 3}} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z - 3}}{2}\].
Vị trí tương đối của d1 và d2 là:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng
\[{d_1}:\frac{{x - 3}}{1} = \frac{{y - 2}}{2} = \frac{{z - 1}}{1}\;\]và \({d_2}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = t}\\{y = 2}\\{z = 2 + t}\end{array}} \right.\) Vị trí tương đối của d1 và d2 là:
Khoảng cách từ điểm M(2;0;1) đến đường thẳng \[\Delta :\frac{{x - 1}}{1} = \frac{y}{2} = \frac{{z - 2}}{1}\;\] là:
Cho \[d,d'\] là các đường thẳng có VTCP lần lượt là \[\overrightarrow u ,\overrightarrow {u\prime } ,M \in d,M\prime \in d\prime \]Khi đó \[d \equiv d\prime \;\] nếu:
Cho hai điểm A(1;−2;0),B(0;1;1), độ dài đường cao OH của tam giác OAB là:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 1 + 2t}\\{y = - t}\\{z = - 2 - t}\end{array}} \right.\). Trong các đường thẳng sau, đường thẳng nào vuông góc với d?
Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng \[d:\,\,\frac{{x - 3}}{2} = \frac{{y - 4}}{1} = \frac{{z - 2}}{1}\] và 2 điểm A(6;3;−2); B(1;0;−1). Gọi \[\Delta \] là đường thẳng đi qua B, vuông góc với d và thỏa mãn khoảng cách từ A đến \[\Delta \] là nhỏ nhất. Một vectơ chỉ phương của \[\Delta \] có tọa độ :
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d có phương trình \[\frac{{x - 1}}{3} = \frac{{y + 2}}{2} = \frac{{z - 3}}{{ - 4}}\;\] và \[d\prime :\frac{{x + 1}}{4} = \frac{y}{1} = \frac{{z + 1}}{2}\;\;\]. Điểm nào sau đây không thuộc đường thẳng d nhưng thuộc đường thẳng d′?
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \({d_1}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + t}\\{y = 2 + t}\\{z = 3}\end{array}} \right.\)và \({d_2}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{y = 2 + 7t}\\{z = 3 + t}\end{array}} \right.\). Phương trình đường phân giác của góc nhọn giữa d1 và d2 là:
Cho hai đường thẳng \[\Delta ,\Delta \prime \;\] có VTCP lần lượt là \(\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} \) và đi qua các điểm M,M′. Khi đó:
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm M(−2;−2;1),A(1;2;−3) và đường thẳng \[d:\frac{{x + 1}}{2} = \frac{{y - 5}}{2} = \frac{z}{{ - 1}}.\] Gọi \[\Delta \] là đường thẳng qua M, vuông góc với đường thẳng d, đồng thời cách điểm A một khoảng bé nhất. Khoảng cách bé nhất đó là
