21 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Các bài toán về mối quan hệ giữa hai đường thẳng

Câu 1:

Cho \[d,d'\] là các đường thẳng có VTCP lần lượt là \[\overrightarrow u ,\overrightarrow {u\prime } ,M \in d,M\prime \in d\prime \]Khi đó \[d \equiv d\prime \;\] nếu:

A.\[\left[ {\vec u,\overrightarrow {u'} } \right] = \vec 0\]

B. \[\left[ {\vec u,\overrightarrow {u'} } \right] = \left[ {\vec u,\overrightarrow {MM'} } \right]\]

C. \[\left[ {\vec u,\overrightarrow {u'} } \right] = \left[ {\vec u,\overrightarrow {MM'} } \right] = \overrightarrow 0 \]

D. \[\left[ {\vec u,\overrightarrow {u'} } \right] \ne \left[ {\vec u,\overrightarrow {MM'} } \right]\]

Xem đáp án

\[d \equiv d' \Leftrightarrow \vec u,\overrightarrow {u'} ,\overrightarrow {MM'} \] đôi một cùng phương\[ \Leftrightarrow \left[ {\vec u,\overrightarrow {u'} } \right] = \left[ {\vec u,\overrightarrow {MM'} } \right] = \vec 0\]

Đáp án cần chọn là: C

Câu 2:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng \({d_1}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 - 3t}\\{y = - t}\\{z = 1 - 2t}\end{array}} \right.\) và \[{d_2}:\frac{{x - 1}}{{ - 3}} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z - 3}}{2}\].

Vị trí tương đối của d₁ và d₂ là:

A.Song song.

B.Trùng nhau.

C.Cắt nhau.

D.Chéo nhau.

Xem đáp án

Đường thẳng\[{d_1}\] đi qua\[{M_1}\left( { - 1;0;1} \right)\] và có VTCP\[\overrightarrow {{u_1}} = \left( {3; - 1; - 2} \right)\]

Đường thẳng\[{d_2}\] đi qua \[{M_2}\left( {1;2;3} \right)\] và có VTCP\[\overrightarrow {{u_2}} = \left( { - 3;1;2} \right)\]

Ta có\[\frac{3}{{ - 3}} = \frac{{ - 1}}{1} = \frac{{ - 2}}{2}\] nên\[\overrightarrow {{u_1}} \parallel \overrightarrow {{u_2}} \](1)

\[\frac{{ - 1 - 1}}{{ - 3}} \ne \frac{{0 - 2}}{1} \ne \frac{{1 - 3}}{2}\] nên\[{M_1} \notin {d_2}\](2)

Từ (1) và (2), suy ra d₁ và d₂ song song.

Đáp án cần chọn là: A

Câu 3:

Điều kiện cần và đủ để hai đường thẳng cắt nhau là:

A.\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {\vec u,\overrightarrow {u'} } \right] \ne \vec 0}\\{\left[ {\vec u,\overrightarrow {u'} } \right]\overrightarrow {MM'} = 0}\end{array}} \right.\)

B. \[\left[ {\vec u,\overrightarrow {u'} } \right] \ne \vec 0\]

C. \[\left[ {\vec u,\overrightarrow {u'} } \right]\overrightarrow {MM'} = 0\]

D. \[\left[ {\vec u,\overrightarrow {u'} } \right] = \vec 0\]

Xem đáp án

d cắt\[d' \Leftrightarrow \vec u,\overrightarrow {u'} \] không cùng phương và\[\vec u,\overrightarrow {u'} ,\overrightarrow {MM'} \] đồng phẳng

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {\vec u,\overrightarrow {u'} } \right] \ne \vec 0}\\{\left[ {\vec u,\overrightarrow {u'} } \right]\overrightarrow {MM'} = 0}\end{array}} \right.\)

Đáp án cần chọn là: A

Câu 4:

Cho d,d′ là các đường thẳng có VTCP lần lượt là \[\overrightarrow u ,\overrightarrow u \prime ,M \in d,M\prime \in d\prime .\]Nếu \[\left[ {\vec u,\overrightarrow {u'} } \right]\overrightarrow {MM'} \ne 0\]thì:

A.d//d′

B.d≡d′

C.d cắt d′

D.d chéo d′

Xem đáp án

Ta có: d chéo\[d' \Leftrightarrow \vec u,\overrightarrow {u'} ,\overrightarrow {MM'} \] không đồng phẳng \[ \Leftrightarrow \left[ {\vec u,\overrightarrow {u'} } \right]\overrightarrow {MM'} \ne 0\]

Đáp án cần chọn là: D

Câu 5:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng

\[{d_1}:\frac{{x - 3}}{1} = \frac{{y - 2}}{2} = \frac{{z - 1}}{1}\;\]và \({d_2}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = t}\\{y = 2}\\{z = 2 + t}\end{array}} \right.\) Vị trí tương đối của d₁ và d₂ là:

A.Song song.

B.Trùng nhau.

C.Cắt nhau.

D.Chéo nhau.

Xem đáp án

Đường thẳng d1 đi qua \[{M_1}\left( {3;2;1} \right)\] và có VTCP\[\overrightarrow {{u_1}} = \left( {1;2;1} \right)\]

Đường thẳng d2 đi qua\[{M_2}\left( {0;2;2} \right)\] và có VTCP\[\overrightarrow {{u_2}} = \left( {1;0;1} \right)\]

Ta có\[\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( {2;0; - 2} \right),\overrightarrow {{M_1}{M_2}} = \left( { - 3;0;1} \right)\]

Suy ra\[\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {{M_1}{M_2}} = - 6 + 0 - 2 = - 8 \ne 0\]

Do đó d1 và d2 chéo nhau.

Đáp án cần chọn là: D

Câu 6:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 1 + 2t}\\{y = - t}\\{z = - 2 - t}\end{array}} \right.\). Trong các đường thẳng sau, đường thẳng nào vuông góc với d?

A.\({d_1}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3t}\\{y = 1 + t}\\{z = 5t}\end{array}} \right.\)

B. \({d_2}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2}\\{y = 2 + t}\\{z = 1 + t}\end{array}} \right.\)

C. \[{d_3}:\frac{{x - 2}}{3} = \frac{y}{2} = \frac{{z - 1}}{{ - 5}}\]

D. \[{d_4}:\frac{{x + 2}}{2} = \frac{y}{{ - 1}} = \frac{{z + 1}}{2}\]

Xem đáp án

Đường thẳng d1 có VTCP\[{\vec u_{_1}} = \left( {3;1;5} \right)\] đường thẳng d có VTCP\[{\vec u_{_d}} = \left( {2; - 1; - 1} \right)\]

Vì\[{\vec u_{_d}}.{\vec u_{_1}} = 3.2 - 1.1 - 5.1 = 0\]

Đáp án cần chọn là: A

Câu 7:

Công thức tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d′ đi qua điểm M′ và có VTCP \(\overrightarrow {u'} \)là:

A.\[d\left( {A,d'} \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AM'} ,\overrightarrow {u'} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {u'} } \right|}}\]

B. \[d\left( {A,d'} \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AM'} ,\overrightarrow {u'} } \right]} \right|}}{{\overrightarrow {u'} }}\]

C. \[d\left( {A,d'} \right) = \frac{{\left[ {\overrightarrow {AM'} ,\overrightarrow {u'} } \right]}}{{\overrightarrow {u'} }}\]

D. \[d\left( {A,d'} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {AM'} .\overrightarrow {u'} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {u'} } \right|}}\]

Xem đáp án

Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d′ được tính theo công thức

\[d\left( {A,d'} \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AM'} ,\overrightarrow {u'} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {u'} } \right|}}\]

Đáp án cần chọn là: A

Câu 8:

Khoảng cách từ điểm M(2;0;1) đến đường thẳng \[\Delta :\frac{{x - 1}}{1} = \frac{y}{2} = \frac{{z - 2}}{1}\;\] là:

A.\(\sqrt 2 \)

B. \(\sqrt 3 \)

C. \[2\sqrt 3 \]

D. \[\frac{5}{{\sqrt {17} }}\]

Xem đáp án

Đường thẳng \[{\rm{\Delta }}\] đi qua A(1;0;2) và có VTCP\[\vec u = \left( {1;2;1} \right)\] Khi đó:

\[\overrightarrow {MA} = \left( { - 1;0;1} \right),\vec u = \left( {1;2;1} \right)\]

\[ \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {MA} ,\vec u} \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{l}}0\\2\end{array}}&{\begin{array}{*{20}{l}}1\\1\end{array}}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{l}}1\\1\end{array}}&{\begin{array}{*{20}{l}}{ - 1}\\1\end{array}}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{l}}{ - 1}\\1\end{array}}&{\begin{array}{*{20}{l}}0\\2\end{array}}\end{array}} \right|} \right) = \left( { - 2;2; - 2} \right)\]

Vậy\[d\left( {M,{\rm{\Delta }}} \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {MA} ,\vec u} \right]} \right|}}{{\left| {\vec u} \right|}} = \frac{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + {2^2}} }}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {1^2}} }} = \sqrt 2 \]

Đáp án cần chọn là: A

Câu 9:

Cho hai điểm A(1;−2;0),B(0;1;1), độ dài đường cao OH của tam giác OAB là:

A.\[3\sqrt {19} \]

B. \[\frac{{3\sqrt {19} }}{{13}}\]

C. \[\sqrt 6 \]

D. \[\frac{{\sqrt {66} }}{{11}}\]

Xem đáp án

Ta có:\[\overrightarrow {OA} = \left( {1; - 2;0} \right),\overrightarrow {AB} = \left( { - 1;3;1} \right)\]

\[ \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {AB} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{l}}{ - 2}\\3\end{array}}&{\begin{array}{*{20}{l}}0\\1\end{array}}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{l}}0\\1\end{array}}&{\begin{array}{*{20}{l}}1\\{ - 1}\end{array}}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{l}}1\\{ - 1}\end{array}}&{\begin{array}{*{20}{l}}{ - 2}\\3\end{array}}\end{array}} \right|} \right) = \left( { - 2; - 1;1} \right)\]

Do đó\[OH = d\left( {O,AB} \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {AB} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|}} = \frac{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {1^2}} }}{{\sqrt {{1^2} + {3^2} + {1^2}} }} = \frac{{\sqrt {66} }}{{11}}\]

Đáp án cần chọn là: D

Câu 10:

Cho hai đường thẳng \[\Delta ,\Delta \prime \;\] có VTCP lần lượt là \(\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} \) và đi qua các điểm M,M′. Khi đó:

A.\[d\left( {{\rm{\Delta }},{\rm{\Delta '}}} \right) = \frac{{\left| {\left[ {\vec u,\overrightarrow {u'} } \right].\overrightarrow {MM'} } \right|}}{{\left| {\left[ {\vec u,\overrightarrow {u'} } \right]} \right|}}\]

B. \[d\left( {{\rm{\Delta }},{\rm{\Delta '}}} \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {MM'} ,\overrightarrow {u'} } \right].\vec u} \right|}}{{\left| {\left[ {\vec u,\overrightarrow {u'} } \right]} \right|}}\]

C. \[d\left( {{\rm{\Delta }},{\rm{\Delta '}}} \right) = \frac{{\left| {\left[ {\vec u,\overrightarrow {u'} } \right].\overrightarrow {MM'} } \right|}}{{\left| {\left[ {\vec u,\overrightarrow {MM'} } \right]} \right|}}\]

D. \[d\left( {{\rm{\Delta }},{\rm{\Delta '}}} \right) = \frac{{\left| {\left[ {\vec u,\overrightarrow {u'} } \right].\overrightarrow {MM'} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {MM'} } \right|}}\]

Xem đáp án

Khoảng cách giữa hai đường thẳng:\[d\left( {{\rm{\Delta }},{\rm{\Delta '}}} \right) = \frac{{\left| {\left[ {\vec u,\overrightarrow {u'} } \right].\overrightarrow {MM'} } \right|}}{{\left| {\left[ {\vec u,\overrightarrow {u'} } \right]} \right|}}\]

Đáp án cần chọn là: A

Câu 11:

Khoảng cách giữa hai đường thẳng \({d_1}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2 + 2t}\\{y = - 1 + t}\\{z = 1}\end{array}} \right.,{d_2}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{y = 1 + t}\\{z = 3 - t}\end{array}} \right.\) là:

A.9

B.3

C.\(\frac{1}{3}\)

D.1

Xem đáp án

Đường thẳng d1 đi qua\[{M_1}\left( {2; - 1;1} \right)\] và có VTCP\[\overrightarrow {{u_1}} = \left( {2;1;0} \right)\]

Đường thẳng d2 đi qua\[{M_2}\left( {1;1;3} \right)\] và có VTCP\[\overrightarrow {{u_2}} = \left( {0;1; - 1} \right)\]

Suy ra

\[\overrightarrow {{M_1}{M_2}} = \left( { - 1;2;2} \right);\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{l}}1\\1\end{array}}&{\begin{array}{*{20}{l}}0\\{ - 1}\end{array}}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{l}}0\\{ - 1}\end{array}}&{\begin{array}{*{20}{l}}2\\0\end{array}}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{l}}2\\0\end{array}}&{\begin{array}{*{20}{l}}1\\1\end{array}}\end{array}} \right|} \right) = \left( { - 1;2;2} \right)\]

Vậy

\[d\left( {{d_1},{d_2}} \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {{M_1}{M_2}} } \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right]} \right|}} = \frac{{\left| {\left( { - 1} \right).\left( { - 1} \right) + 2.2 + 2.2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {2^2}} }} = 3\]

Đáp án cần chọn là: B

Câu 12:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng

\[{d_1}:\frac{{x - 2}}{2} = \frac{{y + 2}}{{ - 1}} = \frac{{z - 3}}{1},{d_2}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 - t}\\{y = 1 + 2t}\\{z = - 1 + t}\end{array}} \right.\] và điểm A(1;2;3).

Đường thẳng Δ qua A, vuông góc với d1 và cắt d2 có phương trình là:

A.\[\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{{ - 3}} = \frac{{z - 3}}{{ - 5}}\]

B. \[\frac{{x - 1}}{{ - 1}} = \frac{{y - 2}}{{ - 3}} = \frac{{z - 3}}{{ - 5}}\]

C. \[\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{3} = \frac{{z - 3}}{5}\]

D. \[\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{3} = \frac{{z - 3}}{{ - 5}}\]

Xem đáp án

Đường thẳng d1 có vectơ chỉ phương\[\overrightarrow {{u_1}} = \left( {2; - 1;1} \right)\]

Gọi\[B = {\rm{\Delta }} \cap {d_2}\] suy ra\[B \in {d_2}\] nên\[B\left( {1 - t;1 + 2t; - 1 + t} \right)\]

Đường thẳng \[{\rm{\Delta }}\] có vectơ chỉ phương\[\overrightarrow {AB} = \left( { - t;2t - 1;t - 4} \right)\]

Theo giả thiết, ta có \[{\rm{\Delta }} \bot {d_1}\] nên

\[\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {{u_1}} = 0 \Leftrightarrow 2\left( { - t} \right) - 1\left( {2t - 1} \right) + \left( {t - 4} \right) = 0 \Leftrightarrow t = - 1 \Rightarrow B\left( {2; - 1; - 2} \right)\]

Khi đó \[{\rm{\Delta }}\] đi qua hai điểm A(1;2;3) và B(2;−1;−2) nên

Đáp án cần chọn là: A

Câu 13:

Góc giữa hai đường thẳng có các VTCP lần lượt là \(\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} \) thỏa mãn:

A.\[\cos \varphi = \frac{{\left| {\vec u.\overrightarrow {u'} } \right|}}{{\left| {\vec u} \right|.\left| {\overrightarrow {u'} } \right|}}\]

B. \[\cos \varphi = \frac{{\vec u.\overrightarrow {u'} }}{{\left| {\vec u} \right|.\left| {\overrightarrow {u'} } \right|}}\]

C. \[\cos \varphi = - \frac{{\vec u.\overrightarrow {u'} }}{{\left| {\vec u} \right|.\left| {\overrightarrow {u'} } \right|}}\]

D. \[\cos \varphi = - \frac{{\left| {\vec u.\overrightarrow {u'} } \right|}}{{\left| {\vec u} \right|.\left| {\overrightarrow {u'} } \right|}}\]

Xem đáp án

Góc giữa hai đường thẳng có các VTCP lần lượt là\[\vec u,\overrightarrow {u'} \]

\[\cos \varphi = \left| {\cos \left( {\vec u,\overrightarrow {u'} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\vec u.\overrightarrow {u'} } \right|}}{{\left| {\vec u} \right|.\left| {\overrightarrow {u'} } \right|}}\]

Đáp án cần chọn là: A

Câu 14:

Cho hình lập phương A(0;0;0),B(1;0;0),D(0;1;0),A′(0;0;1). Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB,CD. Khoảng cách giữa MN và A′C là:

A.\[\frac{1}{{\sqrt 2 }}\]

B. \[\frac{{\sqrt 2 }}{4}\]

C. \(\frac{1}{2}\)

D. \[\frac{3}{{\sqrt 2 }}\]

Xem đáp án

Gọi C(x;y;z) ta có

\(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{1 - 0 = x - 0}\\{0 - 0 = y - 1}\\{0 - 0 = z - 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{y = 1}\\{z = 0}\end{array}} \right. \Rightarrow C(1;1;0)\)

Lại có

\[\begin{array}{*{20}{l}}{M\left( {\frac{1}{2};0;0} \right),N\left( {\frac{1}{2};1;0} \right) \Rightarrow \overrightarrow {MN} = \left( {0;1;0} \right),\overrightarrow {A'C} = \left( {1;1; - 1} \right),\overrightarrow {MA'} = \left( { - \frac{1}{2};0;1} \right)}\\{ \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {A'C} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{l}}1\\1\end{array}}&{\begin{array}{*{20}{l}}0\\{ - 1}\end{array}}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{l}}0\\{ - 1}\end{array}}&{\begin{array}{*{20}{l}}0\\1\end{array}}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{l}}0\\1\end{array}}&{\begin{array}{*{20}{l}}1\\1\end{array}}\end{array}} \right|} \right) = \left( { - 1;0; - 1} \right)}\end{array}\]

Vậy

\[d\left( {MN,A'C} \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {A'C} } \right].\overrightarrow {MA'} } \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {A'C} } \right]} \right|}} = \frac{{\left| {\left( { - 1} \right).\left( { - \frac{1}{2}} \right) + 0.0 + \left( { - 1} \right).1} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {0^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{1}{{2\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt 2 }}{4}\]

Đáp án cần chọn là: B

Câu 15:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(0;0;2), B(1;0;0), C(2;2;0) và D(0;m;0). Điều kiện cần và đủ của m để khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD bằng 2 là:

A.\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m = 4}\\{m = - 2}\end{array}} \right.\)

B. \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m = - 4}\\{m = 2}\end{array}} \right.\)

C. \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m = 4}\\{m = 2}\end{array}} \right.\)

D. \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m = - 4}\\{m = - 2}\end{array}} \right.\)

Xem đáp án

Ta có\[\overrightarrow {AB} = \left( {1;0; - 2} \right),\overrightarrow {CD} = \left( { - 2;m - 2;0} \right)\] và\[\overrightarrow {AC} = \left( {2;2; - 2} \right)\]

Suy ra\[\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {CD} } \right] = \left( {2m - 4;4;m - 2} \right)\]

Do đó

\[d\left[ {AB,CD} \right] = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {CD} } \right].\overrightarrow {AC} } \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {CD} } \right]} \right|}} \Leftrightarrow \frac{{\left| {2\left( {2m - 4} \right) + 8 - 2\left( {m - 2} \right)} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {2m - 4} \right)}^2} + {4^2} + {{\left( {m - 2} \right)}^2}} }} = 2\]

\[ \Leftrightarrow |2m + 4| = 2\sqrt {5{m^2} - 20m + 36} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m = 4}\\{m = 2}\end{array}} \right.\]

Đáp án cần chọn là: C

Câu 16:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d có phương trình \[\frac{{x - 1}}{3} = \frac{{y + 2}}{2} = \frac{{z - 3}}{{ - 4}}\;\] và \[d\prime :\frac{{x + 1}}{4} = \frac{y}{1} = \frac{{z + 1}}{2}\;\;\]. Điểm nào sau đây không thuộc đường thẳng d nhưng thuộc đường thẳng d′?

A.N(4;0;−1)

B.M(1;−2;3) .

C.P(7;2;1) .

D.Q(7;2;3)

Xem đáp án

A:\[\frac{{4 - 1}}{3} = \frac{{0 + 2}}{2} = \frac{{ - 1 - 3}}{{ - 4}} = 1 \Rightarrow N \in d\]

B:\[\frac{{1 - 1}}{3} = \frac{{ - 2 + 2}}{2} = \frac{{3 - 3}}{{ - 4}} = 0 \Rightarrow M \in d\]

C:\[\frac{{7 - 1}}{3} = \frac{{2 + 2}}{2} \ne \frac{{1 - 3}}{{ - 4}} \Rightarrow P \notin d\] và\[\frac{{7 + 1}}{4} = \frac{2}{1} \ne \frac{{1 + 1}}{2} \Rightarrow P \notin d'\]

D:\[\frac{{7 - 1}}{3} = \frac{{2 + 2}}{2} \ne \frac{{3 - 3}}{{ - 4}} \Rightarrow Q \notin d\] và \[\frac{{7 + 1}}{4} = \frac{2}{1} = \frac{{3 + 1}}{2} \Rightarrow Q \in d'\]

Đáp án cần chọn là: D

Câu 17:

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \({d_1}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + t}\\{y = 2 + t}\\{z = 3}\end{array}} \right.\)và \({d_2}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{y = 2 + 7t}\\{z = 3 + t}\end{array}} \right.\). Phương trình đường phân giác của góc nhọn giữa d1 và d2 là:

A.\[\frac{{x - 1}}{5} = \frac{{y - 2}}{{ - 12}} = \frac{{z - 3}}{1}\]

B. \[\frac{{x - 1}}{{ - 5}} = \frac{{y - 2}}{{12}} = \frac{{z - 3}}{1}\]

C. \[\frac{{x - 1}}{5} = \frac{{y - 2}}{{12}} = \frac{{z - 3}}{{ - 1}}\]

D. \[\frac{{x - 1}}{5} = \frac{{y - 2}}{{12}} = \frac{{z - 3}}{1}\]

Xem đáp án

\({d_1}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + t}\\{y = 2 + t}\\{z = 3}\end{array}} \right.\) có 1 VTCP là\[\overrightarrow {{u_1}} = \left( {1;1;0} \right),\,\,\left| {\overrightarrow {{u_1}} } \right| = \sqrt 2 \]

\({d_2}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{y = 2 + 7t}\\{z = 3 + t}\end{array}} \right.\) có 1 VTCP là\[\overrightarrow {{u_2}} = \left( {0;7;1} \right),\,\,\left| {\overrightarrow {{u_2}} } \right| = 5\sqrt 2 \]

Ta có: \[\overrightarrow {{u_1}} .\overrightarrow {{u_2}} = 0 + 7 + 0 > 0 \Rightarrow \left( {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right) < {90^0}\]

⇒Đường phân giác góc nhọn giữa d₁ và d₂ có 1 VTCP\[\vec u = 5.\overrightarrow {{u_1}} + \overrightarrow {{u_2}} = \left( {5;12;1} \right)\]

Phương trình đường phân giác của góc nhọn giữa d₁ và d₂ là:

\[\frac{{x - 1}}{5} = \frac{{y - 2}}{{12}} = \frac{{z - 3}}{1}\]

Đáp án cần chọn là: D

Câu 18:

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm M(−2;−2;1),A(1;2;−3) và đường thẳng \[d:\frac{{x + 1}}{2} = \frac{{y - 5}}{2} = \frac{z}{{ - 1}}.\] Gọi \[\Delta \] là đường thẳng qua M, vuông góc với đường thẳng d, đồng thời cách điểm A một khoảng bé nhất. Khoảng cách bé nhất đó là

A.\[\sqrt {29} \]

B. 6

C. 5

D. \[\frac{{\sqrt {34} }}{9}\]

Xem đáp án

Gọi (P) là mặt phẳng qua M(−2;−2;1) và nhận\[\overrightarrow {{u_d}} = \left( {2;2; - 1} \right)\] làm VTPT

Phương trình mặt phẳng\[\left( P \right):2\left( {x + 2} \right) + 2\left( {y + 2} \right) - \left( {z - 1} \right) = 0\]

\[ \Leftrightarrow 2x + 2y - z + 9 = 0\]

Suy ra\[{\rm{\Delta }} \subset \left( P \right)\]. Khi đó ta có \[d\left( {A,{\rm{\Delta }}} \right) \ge d\left( {A,\left( P \right)} \right)\]

Lại có\[d\left( {A,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2.1 + 2.2 - \left( { - 3} \right) + 9} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = 6\]

Vậy khoảng cách nhỏ nhất là d=6.

Đáp án cần chọn là: B

Câu 19:

Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng \[d:\,\,\frac{{x - 3}}{2} = \frac{{y - 4}}{1} = \frac{{z - 2}}{1}\] và 2 điểm A(6;3;−2); B(1;0;−1). Gọi \[\Delta \] là đường thẳng đi qua B, vuông góc với d và thỏa mãn khoảng cách từ A đến \[\Delta \] là nhỏ nhất. Một vectơ chỉ phương của \[\Delta \] có tọa độ :

A.(1;1;−3)

B.(1;−1;−1)

C.(1;2;−4)

D. (2;−1;−3)

Xem đáp án

Gọi (P) là mặt phẳng đi qua B và vuông góc với\[d \Rightarrow \left( P \right):\,\,2x + y + z - 1 = 0\]

\[{\rm{\Delta }}\] đi qua B và vuông góc với\[d \Rightarrow {\rm{\Delta }} \subset \left( P \right)\]

Gọi H,K lần lượt là hình chiếu của A lên (P) và \[{\rm{\Delta }}\] ta có \[AH \le AK\]

Do đó để khoảng cách từ A đến \[{\rm{\Delta }}\] là nhỏ nhất\[ \Rightarrow H \in {\rm{\Delta }}\]

Phương trình AH đi qua A và nhận\[\overrightarrow {{u_d}} = \left( {2;1;1} \right)\] là 1 VTCP là\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 6 + 2t}\\{y = 3 + t}\\{z = - 2 + t}\end{array}} \right.\)\[\begin{array}{*{20}{l}}{H \in AH \Rightarrow H\left( {6 + 2t;3 + t; - 2 + t} \right)}\\{H \in \left( P \right) \Rightarrow 2\left( {6 + 2t} \right) + 3 + t - 2 + t - 1 = 0 \Leftrightarrow 6t + 12 = 0 \Leftrightarrow t = - 2}\\{ \Rightarrow H\left( {2;1; - 4} \right)}\end{array}\]

\[{\rm{\Delta }}\] đi qua B,H nhận\[\overrightarrow {BH} \left( {1;1; - 3} \right)\] là 1 VTCP.

Đáp án cần chọn là: A

Câu 20:

Trong không gian Oxyz cho điểm A(1;1;−2) và đường thẳng \[d:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{z}{{ - 2}}\]. Đường thẳng qua A và song song với d có phương trình tham số là

A.\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + 2t}\\{y = 1 - t}\\{z = - 2 - 2t}\end{array}} \right.\)

B. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + 2t}\\{y = 1 + t}\\{z = - 2 - 2t}\end{array}} \right.\)

C. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2 + t}\\{y = 1 + t}\\{z = 2 - 2t}\end{array}} \right.\)

D. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2 + t}\\{y = 1 + t}\\{z = - 2 - 2t}\end{array}} \right.\)

Xem đáp án

Đường thẳng\[d:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{z}{{ - 2}}\] có 1 VTCP là \[\overrightarrow {{u_d}} = \left( {2;1; - 2} \right)\] đây cũng là VTCP của đường thẳng đi qua A và song song với d.

Đường thẳng qua A và song song với d nhận\[\vec u = \left( {2;1; - 2} \right)\] là VTCP, có phương trình tham số: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + 2t}\\{y = 1 + t}\\{z = - 2 - 2t}\end{array}} \right.\)

Đáp án cần chọn là: B

Câu 21:

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + t}\\{y = 2 - t}\\{z = 1 - 3t}\end{array}} \right.\). Đường thẳng \[\Delta \] đi qua gốc tọa độ O, vuông góc với trục hoành Ox và vuông góc với đường thẳng d có phương trình là:

A.\(\Delta :\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{y = - 3t}\\{z = - t}\end{array}} \right.\)

B. \(\Delta :\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = t}\\{y = - 3t}\\{z = t}\end{array}} \right.\)

C. \(\Delta :\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = t}\\{y = - 3t}\\{z = - t}\end{array}} \right.\)

D. \(\Delta :\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{y = - 3t}\\{z = t}\end{array}} \right.\)

Xem đáp án

Đường thẳng \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + t}\\{y = 2 - t}\\{z = 1 - 3t}\end{array}} \right.\) có 1 VTCP là\[\overrightarrow {{u_d}} = \left( {1; - 1; - 3} \right)\] trục Ox có 1 VTCP là\[\vec i = \left( {1;0;0} \right)\]

Gọi\[\overrightarrow {{u_{\rm{\Delta }}}} \] là 1 VTCP của đường thẳng \[{\rm{\Delta }}\], ta có

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\Delta \bot Ox}\\{\Delta \bot d}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\overrightarrow {{u_\Delta }} .\overrightarrow i = 0}\\{\overrightarrow {{u_\Delta }} .\overrightarrow {{u_d}} = 0}\end{array}} \right. \Rightarrow \overrightarrow {{u_\Delta }} = \left[ {\overrightarrow i ;\overrightarrow {{u_d}} } \right] = (0; - 3;1)\)

Vậy phương trình đường thẳng \[{\rm{\Delta }}\] đi qua O(0;0;0) và có 1 VTCP\[\overrightarrow {{u_{\rm{\Delta }}}} = \left( {0; - 3;1} \right)\] là:

\(\Delta :\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{y = - 3t}\\{z = t}\end{array}} \right.\)

Đáp án cần chọn là: D

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Các bài toán về mối quan hệ giữa hai đường thẳng

Các bài toán về mối quan hệ giữa hai đường thẳng

Danh sách câu hỏi

Có thể bạn quan tâm

Các bài thi hot trong chương