Một con lắc lò xo thẳng đứng gồm lò xo nhẹ có độ cứng $k=25N/m$ một đầu được gắn với hòn bi nhỏ có khối lượng $m=100g$ . Khi vật đang ở vị trí cân bằng, tại thời điểm $t = 0$ người ta thả cho con lắc rơi tự do sao cho trục lò xo luôn nằm theo phương thẳng đứng và vật nặng ở phía dưới lò xo. Đến thời điểm $t_1=0,02\sqrt{15}s$  thì điểm chính giữa của lò xo đột ngột bị giữ lại cố định. Lấy $g=10m/s^2;{\pi }^2=10$ . Bỏ qua ma sát, lực cản. Tốc độ của hòn bi tại thời điểm $t_2=t_1+0,07s$  có độ lớn gần nhất với giá trị nào sau đây?

Đáp án A

Phương pháp giải:

Quá trình chuyển động của vật được chia thành hai giai đoạn:

+ Giai đoạn 1: Vật rơi tự do xuống dưới. Chọn HQC gắn với điểm treo lò xo,trục Ox thẳng đứng chiều dương hướng xuống dưới, gốc O tại vị trí cân bằng.

+ Giai đoạn 2. Lò xo bị giữ ở chính giữa, khi đó độ cứng k thay đổi, tần số góc và chu kì thay đổi, vị trí cân bằng thay đổi. Ta xác định vị trí và li độ ở hệ quy chiếu đất và vị trí cân bằng mới. Từ đó xác định biên độ mới. Sử dụng VTLG tìm vận tốc tại $t_2$.

Giải chi tiết:

Độ biến dạng của lò xo tại VTCB:$\Delta l_0=\frac{mg}{k}=\frac{0,1.10}{25}=4cm$

Quá trình chuyển động của vật được chia làm hai giai đoạn:

+ Giai đoạn 1: Vật rơi tự do xuống dưới. Chọn HQC gắn với điểm treo lò xo,trục Ox thẳng đứng chiều dương hướng xuống dưới, gốc O tại vị trí cân bằng.

Vật nặng chịu tác dụng của các lực: trọng lực, lực đàn hồi của lò xo, lực quán tính $\left(F_{qt}=P\right)$.

Tại vị trí cân bằng và trong quá trình rơi, vật dao động điều hòa quanh vị trí lò xo không biến dạng với biên độ$A=\Delta l_0$

 Thời điểm $t=0$, con lắc bắt đầu rơi thì vật đang ở biên dưới.

Tần số góc của dao động:

 $\omega =\sqrt{\frac{k}{m}}=5{\pi }_{}\left(rad/s\right)$$\Rightarrow T=\frac{2\pi }{\omega }=0,4s$

Sau khoảng thời gian $t_1=0,02\sqrt{15}=\frac{\sqrt{15}}{20}T$ ứng với góc quét$\phi =\omega t_1={69}^0$

 

Khi đó li độ của vật là:$x_1=A.\cos {69}^0=1,4cm$

Khi đó vật có vận tốc là:$v=-\omega .\sqrt{A^2-x^2}=-58,{93}_{}(cm/s)$

+ Giai đoạn 2: Khi lò xo bị giữ ở chính giữa.

Xét trong hệ quy chiếu gắn với mặt đất, vật chịu tác dụng của 2 lực: Trọng lực và lực đàn hồi.

Độ cứng  ⇒ VTCB mới ở cách vị trí cân bằng cũ 2cm, là vị trí lò xo dãn$\Delta l=\frac{mg}{k^{\text{'}}}=2cm$

Sau thời gian $t_1$, vận tốc của vật nặng so với mặt đất là:$\overrightarrow{v_{13}}=\overrightarrow{v_{12}}+\overrightarrow{v_{23}}$

$\Rightarrow v_{13}=-58,93+gt=18,53cm/s$

Li độ của vật tại thời điểm t1 trong hệ quy chiếu gắn với mặt đất là:$x_{13}=-1,4-2=-3,4cm$

Khi đó tần số góc:${\omega }^{\text{'}}=\sqrt{\frac{k^{\text{'}}}{m}}=\sqrt{2}\omega =5\sqrt{2}\pi \left(rad/s\right)$

Khi đó vật dao động quanh vị trị  với biên độ:$A^{\text{'}}=\sqrt{x_{13}^2+{\left(\frac{v_{13}}{{\omega }^{\text{'}}}\right)}^2}\approx 3,5cm$

Sau thời gian $\Delta t=0,07s$

Vị trí ban đầu $\alpha =acr\cos \frac{3,4}{3,5}=13,8^0$

Góc quét được $\phi =\omega \Delta t=5\sqrt{2}\pi .0,07={89}^0$

Li độ lúc đó là $x=A.\sin \left(\alpha +\phi -{90}^0\right)=0,77cm$

Vận tốc lúc đó là $v={\omega }^{\text{'}}\sqrt{{A^{\text{'}}}^2}-x^2=75,8_{}cm/s$