Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$ là điểm H thuộc đoạn BD sao cho $HD = 3HB$. Biết gọc giữa mặt $\left( {SCD} \right)$ và mặt phẳng đáy bằng $45^\circ .$ Khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BD là

Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}.$ Biết $f\left( 2 \right) = 3$ và $\int\limits_{ - 1}^3 {f\left( {\sqrt {x + 1} } \right)dx} = 4,$ khi đó $\int\limits_0^2 {{x^2}f'\left( x \right)dx}$ bằng

Cho số phức z thỏa mãn $\left| {\frac{{z - 1}}{{z + 3i}}} \right| = \frac{1}{{\sqrt 2 }}.$ Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P = \left| {z + i} \right| + 2\left| {\bar z - 4 + 7i} \right|.$

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ có cạnh bằng a (tham khảo hình vẽ) . Giá trị sin của góc giữa hai mặt phẳng $\left( {BDA'} \right)$ và $\left( {ABCD} \right)$ bằng

Cho hình thang cong (H) giới hạn bởi các đường $y = \frac{1}{x},{\mkern 1mu} y = 0,{\mkern 1mu} x = 1,{\mkern 1mu} x = 5.$ Đường thẳng $x = k$ với $1 < k < 5$ chia (H) thành hai phần là $\left( {{S_1}} \right)$ và $\left( {{S_2}} \right)$ quay quanh trục $Ox$ ta thu được hai khối tròn xoay có thể tích lần lượt là ${V_1}$ và ${V_2}.$ Xác định k để ${V_1} = 2{V_2}.$

Số nghiệm của phương trình ${\log _2}\left( {\frac{{{{5.2}^x} - 8}}{{{2^x} + 2}}} \right) = 3 - x$ là:

Người ta muốn xây một bể chứa nước dạng hình hộp chữ nhật không nắp có thể tích $200{m^3}$ . Đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng. Giá thuê nhân công xây bể là 300.000 đồng/m2. Chi phí thuê công nhân thấp nhất là:

Số hạng không chứa x trong khai triển ${\left( {\sqrt[3]{x} + \frac{1}{{\sqrt[4]{x}}}} \right)^7}$ bằng:

Gọi ${z_1}$, ${z_2}$ là hai nghiệm phức của phương trình $3{z^2} - z + 2 = 0$. Tính $T = {\left| {{z_1}} \right|^2} + {\left| {{z_2}} \right|^2}$.

 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm $M\left( { - 3;3; - 3} \right)$ thuộc mặt phẳng $\left( \alpha \right):2x - - 2y + z + 15 = 0$ và mặt cầu $\left( S \right):{(x - 2)^2} + {(y - 3)^2} + {(z - 5)^2} = 100$. Đường thẳng Δ qua M, nằm trên mặt phẳng (α) cắt (S) tại A, B sao cho độ dài AB lớn nhất. Viết phương trình đường thẳng Δ.

Cho hàm số $f\left( x \right) = {\log _2}\left( {{x^2} + 1} \right)$, tính $f'\left( 1 \right)$.

Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là tứ giác lồi, tam giác ABD đều cạnh a, tam giác BCD cân tại $C,{\mkern 1mu} \widehat {BCD} = {120^0},{\mkern 1mu} SA \bot \left( {ABCD} \right){\mkern 1mu} ,{\mkern 1mu} SA = a.$ Mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với SC cắt các cạnh $SB,SC,SD$ lần lượt tại $M,N,P.$ Tính thể tích khối chóp $S.AMNP$

Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh $AB = a$, góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ bằng $45^\circ$. Thể tích khối chóp S.ABCD là

Tích tất cả các nghiệm của phương trình ${3^{{x^2} + x}} = 9$ bằng

Cho hình hộp chữ nhật có độ dài các cạnh là 3, 4, 5. Nối tâm 6 mặt của hình hộp chữ nhật ta được khối 8 mặt. Thể tích của khối 8 mặt đó là

Cho hàm số f(x) dương thỏa mãn $f\left( 0 \right) = e$ và ${x^2}f'\left( x \right) = f\left( x \right) + f'\left( x \right),\forall x \ne \pm 1.$ Giá trị $f\left( {\frac{1}{2}} \right)$ là