Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, SA vuông góc với đáy, mặt bên \[\left( {SCD} \right)\] hợp với đáy một góc bằng \[60^\circ \], M là trung điểm của BC. Biết thể tích khối chóp S.ABCD bằng \[\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}\]. Khoảng cách từ M đến mặt phẳng \[\left( {SCD} \right)\] bằng

Một hộp chứa  4 quả cầu màu đỏ, 5 quả cầu màu xanh và 7 quả cầu màu vàng. Lấy ngẫu nhiên cùng lúc ra 4 quả cầu từ hộp đó. Tính xác suất sao cho 4 quả cầu được lấy ra có đúng một quả cầu màu đỏ và không quá hai quả cầu màu vàng.

Tìm hệ số của số hạng chứa \[{x^3}\] trong khai triển biểu thức \[P = {x^2}{\left( {2x + 1} \right)^{10}} - {\left( {x - 2} \right)^8}\]

Tính thể tích V của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng \[x = 0\] và \[x = 2\sqrt 3 ,\] biết rằng khi cắt vật thể bởi mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục \[Ox\] tại điểm có hoành độ \[x\left( {0 \le x \le 2\sqrt 3 } \right)\] thì thiết diện là một hình tam giác đều có cạnh là \[x\sqrt 2 .\]

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \[m \in \left[ { - 10;10} \right]\] để bất phương trình sau nghiệm đúng \[\forall x \in \mathbb{R}:{\left( {6 + 2\sqrt 7 } \right)^x} + \left( {2 - m} \right){\left( {3 - \sqrt 7 } \right)^x} - \left( {m + 1} \right){2^x} \ge 0\]?

Tại một nơi không có gió, một chiếc khí cầu đang đứng yên ở độ cao 162 (mét) so với mặt đất đã được phi công cài đặt cho nó chế độ chuyển động đi xuống. Biết rằng, khí cầu đã chuyển động theo phương thẳng đứng với vận tốc tuân theo quy luật \[v\left( t \right) = 10t - {t^2},\] trong đó t (phút) là thời gian tính từ lúc bắt đầu chuyển động, \[v\left( t \right)\] được tính theo đơn vị mét/phút (m/p). Nếu như vậy thì khi bắt đầu tiếp đất vận tốc v của khí cầu là

Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào trong các hàm số cho dưới đây?

Tập nghiệm của bất phương trình \[{3^{2x - 1}} > 27\] là:

Một khối đồ chơi gồm một khối hình trụ (T) gắn chồng lên một khối hình nón (N), lần lượt có bán kính đáy và chiều cao tương ứng là \[{r_1},{h_1},{r_2},{h_2}\] thỏa mãn \[{r_2} = 2{r_1},{h_1} = 2{h_2}\] (hình vẽ). Biết rằng thể tích của khối nón (N) bằng \[20{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\]. Thể tích của toàn bộ khối đồ chơi bằng

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 3a, SA vuông góc với đáy, \[SB = 5a\]. Tính sin của góc giữa cạnh SC và mặt đáy \[\left( {ABCD} \right)\].

Cho a là số thực dương khác 1. Tính \[P = {\log _{{a^2}}}a\].

Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Cạnh bên SA vuông góc với mặt đấy và \[SC = a\sqrt 3 \]. Thể tích của khối chóp đã cho bằng

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) đi qua điểm \[A\left( {1; - 1;2} \right)\] và có một vectơ pháp tuyến \[\vec n = \left( {2;2; - 1} \right).\] Phương trình của (P) là

Cho hàm số \[f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\left( {a,b,c,d \in \mathbb{R}} \right)\] có đồ thị như hình vẽ bên. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình \[2f\left( {\left| x \right|} \right) - m = 0\] có đúng bốn nghiệm thực phân biệt.

Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] có đạo hàm \[f'\left( x \right) = \left( {3 - x} \right)\left( {{x^2} - 1} \right) + 2x,\forall x \in \mathbb{R}\]. Hỏi hàm số \[y = f\left( x \right) - {x^2} - 1\] có bao nhiêu điểm cực tiểu?

Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] có đạo hàm \[f'\left( x \right)\]. Hàm số \[y = f'\left( x \right)\] liên tục trên tập số thực và có đồ thị như hình vẽ. Biết \[f\left( { - 1} \right) = \frac{{13}}{4},f\left( 2 \right) = 6\]. Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \[g\left( x \right) = {f^3}\left( x \right) - 3f\left( x \right)\] trên \[\left[ { - 1;2} \right]\] bằng