Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có cạnh đáy bằng \(a.\) Gọi \(M;N\) lần lượt là trung điểm của \(SA\) và \(BC.\) Biết góc giữa \(MN\) và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) bằng \({60^0}.\) Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(BC\) và \(DM\) là:
A.\(a\sqrt {\frac{{15}}{{17}}} \)
B.\(a\sqrt {\frac{{15}}{{62}}} \)
C.\(a\sqrt {\frac{{30}}{{31}}} \)
D. \(a\sqrt {\frac{{15}}{{68}}} \)
Giải bởi Vietjack
Gọi \(O\) là tâm của đáy \(ABCD\) ta có \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\)
Gọi \(I\) là trung điểm của OA
\( \Rightarrow MI//SO \Rightarrow MI \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow \left( {MN,\left( {ABCD} \right)} \right) = \angle \left( {MN,\left( {ABCD} \right)} \right) = \angle MNI = {60^0}\)
Xét \(\Delta NCI\) có \(CN = \frac{1}{2}BC = \frac{a}{2};CI = \frac{3}{4}AC = \frac{{3\sqrt 2 }}{4}a;\angle NCI = {45^0}\)
Suy ra \(NI = \sqrt {C{N^2} + C{I^2} - 2CN.CI.\cos C} = \sqrt {\frac{{{a^2}}}{4} + \frac{{18{a^2}}}{{16}} - 2.\frac{a}{2}.\frac{{3\sqrt 2 }}{4}.a.\cos {{45}^0}} = a\frac{{\sqrt {10} }}{4}.\)
\(MI = NI.\tan {60^0} = a\frac{{\sqrt {30} }}{4} \Rightarrow SO = a\frac{{\sqrt {30} }}{2}.\)
Vì \(\left\{ \begin{array}{l}BC//\left( {SAD} \right)\\DM \subset \left( {SAD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow d\left( {BC,DM} \right) = d\left( {BC,\left( {SAD} \right)} \right) = 2d\left( {O,\left( {SAD} \right)} \right) = 2h.\)
Xét tứ diện \(\left( {SAOD} \right)\) có \(SO;OA;OD\) đôi một vuông góc
Nên ta có: \(\frac{1}{{{h^2}}} = \frac{1}{{S{O^2}}} + \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{D^2}}} = \frac{2}{{15{a^2}}} + \frac{2}{{{a^2}}} + \frac{2}{{{a^2}}} = \frac{{62}}{{15{a^2}}} \Rightarrow h = a\sqrt {\frac{{15}}{{62}}} \)
Do đó \(d\left( {BC,DM} \right) = 2h = 2a\sqrt {\frac{{15}}{{62}}} = a\sqrt {\frac{{30}}{{31}}} \)
Đáp án C.
Gói VIP thi online tại VietJack (chỉ 400k/1 năm học), luyện tập gần 1 triệu câu hỏi có đáp án chi tiết
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có \(ABCD\) là hình chữ nhật. Biết \(AB = a\sqrt 2 ,AD = 2a,SA \bot \left( {ABCD} \right)\) và \(SA = a\sqrt 2 .\) Góc giữa hai đường thẳng \(SC\) và \(AB\) bằng
Một vật có phương trình chuyển động \(S\left( t \right) = 4,9{t^2};\) trong đó t tính bằng (s), S(t) tính bắng mét (m). Vận tốc của vật tại thời điểm t=6s bằng
Trong các phương trình dưới đây, phương trình nào có tập nghiệm là: \(x = \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}.\)
Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có \(SA = AB = a.\) Góc giữa \(SA\) và \(CD\) là
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật, \(AB = a,AD = a\sqrt 2 ,\) đường thẳng \(SA\) vuông góc với \(mp\left( {ABCD} \right).\) Góc giữa \(SC\) và \(mp\left( {ABCD} \right)\) bằng \({60^0}.\) Tính thể tích khối chóp \(S.ABCD\)
Cho tứ diện đều \(ABCD\) có cạnh bằng 1, gọi \(M\) là trung điểm \(AD\) và \(N\) trên cạnh \(BC\) sao cho \(BN = 2NC.\) Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(MN\) và \(CD\) là
Cho hình chóp tứ giác có đáy là hình vuông cạnh \(a,\) khi cạnh đáy của hình chóp giảm đi 3 lần và vẫn giữ nguyên chiều cao thì thể tích của khối chóp giảm đi mấy lần:
Xét phép thử T: “Gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất” và biến cố A liên quan đến phép thử: “Mặt lẻ chấm xuất hiện”. Chọn khẳng định sai trong những khẳng định dưới đây:
Cho hàm số \(f\left( x \right).\) Hàm số \(y = f'\left( x \right)\) có đồ thị như hình bên dưới.
Hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {3 - 4x} \right) - 8{x^2} + 12x + 2020\) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
Đồ thị hàm số \(y = \frac{{x - 2}}{{x + 4}}\) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng
Giá trị lớn nhất của hàm số \(y = 2{x^3} - 3{x^2} + {10^{2020}}\) trên đoạn \(\left[ { - 1;1} \right]\) là:
