IMG-LOGO

Câu hỏi:

21/07/2024 192

Biết rằng \[\int\limits_1^2 {\frac{{{x^3} - 1}}{{{x^2} + x}}dx = a + b\ln 3 + c\ln 2} \] với \[a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} b,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} c\] là các số hữu tỉ. Tính \[2a + 3b - 4c.\]

A.\[ - 5\]

B.\[ - 19\]

C.\[5\]

D.\[19\]

Đáp án chính xác
 Xem lời giải

Trả lời:

verified Giải bởi Vietjack

Phương pháp giải:

- Chia tử cho mẫu để đưa biểu thức dưới dấu tích phân về dạng đa thức + phân thức hữu tỉ có bậc tử nhỏ hơn bậc mẫu.

- Phân tích mẫu thành nhân tử, biến đổi để xuất hiện các tích phân dạng \[\int\limits_1^2 {\frac{k}{{ax + b}}dx} \].

- Tính tích phân và tìm \[a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} b,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} c\]

Giải chi tiết:

Ta có: \[\int\limits_1^2 {\frac{{{x^3} - 1}}{{{x^2} + x}}dx} = \int\limits_1^2 {\left( {x - 1 + \frac{{x - 1}}{{{x^2} + x}}} \right)dx} \]

\[ = \int\limits_1^2 {\left( {x - 1} \right)dx} + \int\limits_1^2 {\frac{{x - 1}}{{x\left( {x + 1} \right)}}dx} \]\[ = \frac{1}{2} + I\]

Giả sử \[\frac{{x - 1}}{{x\left( {x + 1} \right)}} = \frac{B}{x} + \frac{C}{{x + 1}}\]\[ \Leftrightarrow \frac{{x - 1}}{{x\left( {x + 1} \right)}} = \frac{{B\left( {x + 1} \right) + Cx}}{{x\left( {x + 1} \right)}}\]

\[ \Leftrightarrow \frac{{x - 1}}{{x\left( {x + 1} \right)}} = \frac{{\left( {B + C} \right)x + B}}{{x\left( {x + 1} \right)}}\]\[ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{B + C = 1}\\{B = - 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{B = - 1}\\{C = 2}\end{array}} \right.\]

Khi đó ta có

\[I = \int\limits_1^2 {\frac{{x - 1}}{{x\left( {x + 1} \right)}}dx} = \int\limits_1^2 {\frac{{ - 1}}{x}dx} + \int\limits_1^2 {\frac{2}{{x + 1}}dx} \]

\[{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} = \left. { - \ln \left| x \right|} \right|_1^2 + \left. {2\ln \left| {x + 1} \right|} \right|_1^2\]\[ = - \ln 2 + 2\ln 3 - 2\ln 2\]\[{\mkern 1mu} = 2\ln 3 - 3\ln 2\]

\[ \Rightarrow \int\limits_1^2 {\frac{{{x^3} - 1}}{{{x^2} + x}}dx} = \frac{1}{2} + 2\ln 3 - 3\ln 2\]\[ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = \frac{1}{2}}\\{b = 2}\\{c = - 3}\end{array}} \right.\]

Vậy \[2a + 3b - 4c = 2.\frac{1}{2} + 3.2 - 4.\left( { - 3} \right) = 19\].

Đáp án D

Câu trả lời này có hữu ích không?

0

Gói VIP thi online tại VietJack (chỉ 400k/1 năm học), luyện tập gần 1 triệu câu hỏi có đáp án chi tiết

ĐĂNG KÝ VIP

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số đôi một khác nhau, chia hết cho 15 và mỗi chữ số đều không vượt quá 5.

Xem đáp án » 08/09/2022 405

Câu 2:

Tìm tất cả các giá trị thực của m để phương trình \[\left| {{x^4} - 2{x^2} - 3} \right| = 2m - 1\] có đúng 6 nghiệm thực phân biệt.

Xem đáp án » 08/09/2022 405

Câu 3:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số \[y = \frac{{mx + 4}}{{x + m}}\] nghịch biến trên khoảng \[\left( { - 1;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 1} \right)?\]

Xem đáp án » 08/09/2022 339

Câu 4:

Trong không gian với hệ tọa độ \[Oxyz,\] cho đường thẳng \[\Delta :{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{z}{2}\] và hai mặt phẳng \[\left( P \right):{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x - 2y + 3z = 0,\left( Q \right):{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x - 2y + 3z + 4 = 0.\] Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng \[\Delta \] và tiếp xúc với cả hai mặt phẳng \[\left( P \right)\] và \[\left( Q \right).\]

Xem đáp án » 08/09/2022 265

Câu 5:

Phương trình \[{z^4} = 16\] có bao nhiêu nghiệm phức?

Xem đáp án » 08/09/2022 254

Câu 6:

Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy \[ABCD\] là hình vuông cạnh \[a\sqrt 2 .\] Cạnh bên \[SA\] vuông góc với đáy. Góc giữa \[SC\] và mặt phẳng đáy bằng \[{45^0}.\] Gọi E là trung điểm của \[BC.\] Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \[DE\] và \[SC.\]

Xem đáp án » 08/09/2022 245

Câu 7:

Trong không gian với hệ tọa độ \[Oxyz,\] cho hai đường thẳng \[{d_1}:{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \frac{x}{2} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{{z + 1}}{{ - 2}}\] và \[{d_2}:{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{2} = \frac{{z - 3}}{{ - 2}}.\] Khoảng cách giữa hai đường thẳng này bằng:

Xem đáp án » 08/09/2022 241

Câu 8:

Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy là hình vuông cạnh \[a\sqrt 3 \], \[SA \bot \left( {ABCD} \right)\] và \[SA = a\sqrt 2 \]. Tính góc giữa SC và \[\left( {ABCD} \right)\].

Xem đáp án » 08/09/2022 236

Câu 9:

Cho hàm số \[y = {x^3} - m{x^2} - {m^2}x + 8.\] Có bao nhiêu giá trị m nguyên để hàm số có điểm cực tiểu nằm hoàn toàn phía bên trên trục hoành?

Xem đáp án » 08/09/2022 228

Câu 10:

Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để hàm số \[y = \frac{8}{3}{x^3} + 2\ln x - mx\] đồng biến trên \[\left( {0;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 1} \right)?\]

Xem đáp án » 08/09/2022 207

Câu 11:

Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để hàm số \[y = {x^2} + 8\ln 2x - mx\] đồng biến trên \[\left( {0; + \infty } \right)\]?

Xem đáp án » 08/09/2022 202

Câu 12:

Số nghiệm nguyên thuộc đoạn \[\left[ { - 99;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 100} \right]\] của bất phương trình \[{\left( {\sin \frac{\pi }{5}} \right)^x} \ge {\left( {\cos \frac{{3\pi }}{{10}}} \right)^{\frac{4}{x}}}\] là:

Xem đáp án » 08/09/2022 196

Câu 13:

Cho cấp số nhân \[\left( {{u_n}} \right)\] thỏa mãn \[2\left( {{u_3} + {u_4} + {u_5}} \right) = {u_6} + {u_7} + {u_8}\]. Tính \[\frac{{{u_8} + {u_9} + {u_{10}}}}{{{u_2} + {u_3} + {u_4}}}\].

Xem đáp án » 08/09/2022 195

Câu 14:

Cho \[a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} b\] là các số thực dương thỏa mãn \[{\log _{\sqrt {ab} }}\left( {a{\mkern 1mu} \sqrt[3]{b}} \right) = 3.\] Tính \[{\log _{\sqrt {ab} }}\left( {b{\mkern 1mu} \sqrt[3]{a}} \right).\]

Xem đáp án » 08/09/2022 178

Câu 15:

Phương trình \[{2^x} = {3^{{x^2}}}\] có bao nhiêu nghiệm thực?

Xem đáp án » 08/09/2022 177

Câu hỏi mới nhất

Xem thêm »
Xem thêm »