Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;1], thỏa mãn $f\left(0\right)=0; f\left(1\right)=1 và {\int }_0^1\frac{{\left[f\text{'}\left(x\right)\right]}^2}{e^x}dx=\frac{1}{e-1}$. Tích phân ${\int }_0^{1}f\left(x\right)dx$ bằng

Cho dãy số vô hạn $\left\{u_n\right\}$ là cấp số cộng có công sai d và số hạng đầu $u_1$. Hãy chọn khẳng định sai?

Người ta làm chiếc thùng phi dạng hình trụ, kín hai đáy, với thể tích theo yêu cầu là $2\mathrm{\pi } {\mathrm{m}}^3$. Hỏi bán kính đáy R và chiều cao h của thùng phi bằng bao nhiêu để khi làm thì tiết kiệm vật liệu nhất?

Một mảnh vườn hình elip có trục lớn bằng 100m, trục nhỏ bằng 80m được chia thành 2 phần bởi một đoạn thẳng nối hai đỉnh liên tiếp của elip. Phần nhỏ hơn trồng cây con và phần lớn hơn trồng rau. Biết lợi nhuận thu được là 2000 mỗi $m^2$ trồng cây con và 4000 mỗi $m^2$ trồng rau. Hỏi thu nhập từ cả mảnh vườn là bao nhiêu? (Kết quả được làm tròn đến hàng nghìn).

Cho đồ thị hàm số  $y=\frac{1}{3}{x}^4-2x^2-1$ có ba điểm cực trị là A, B, C. Biết M, N là hai điểm di động lần lượt thuộc các cạnh AB, AC sao cho diện tích tam giác ABC gấp ba lần diện tích tam giác AMN. Giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng MN là

Cho số phức $z=a+bi; a,b\in \mathrm{ℝ}$. Phần thực của số phức $z^2$ là:

Cho hình chóp S.ABC  có $AB=3$ . Hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc miền trong tam giác ABC sao cho $\widehat{AHB}=120°$. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.HAB, biết $SH=4\sqrt{3}$ .

Tìm phần ảo của số phức z biết $\overline{z}={\left(\sqrt{3}+i\right)}^2\left(\sqrt{3}-i\right)$ .

Gọi A là tập hợp các số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên thuộc tập A. Tính xác suất để chọn được một số thuộc A và số đó chia hết cho 5.

Tập hợp A có 10 phần tử. Số cách xếp 5 phần tử của A vào 5 vị trí khác nhau là:

Cho hàm số $\left(C\right): y=f\left(x\right)$ liên tục trên đoạn [a;b]. Xét hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường $\left(C\right); y=0; x=a; x=b$ . Quay (H) quanh trục Ox ta được một khối tròn xoay có thể tích là:

Tính giới hạn sau: $\underset{x\to \infty }{lim}\frac{2x-1}{1-x}$?

Cho tứ diện S.ABC. Trên cạnh SA, SB lần lượt lấy các điểm M, N sao cho $SM=MA, SN=2NB$. Mặt phẳng đi qua MN và song song với SC chia tứ diện thành hai phần có thể tích $V_1 và V_2 \left(V_1<V_2\right)$ . Tỉ số $\frac{V_1}{V_2}$  bằng

Xếp 10 quyển sách tham khảo khác nhau gồm: 1 quyển sách Văn, 3 quyển sách tiếng Anh và 6 quyển sách Toán (trong đó có hai quyển Toán T1 và Toán T2) thành một hàng ngang trên giá sách. Tính xác suất để mỗi quyển sách tiếng Anh đều được xếp ở giữa hai quyển sách Toán, đồng thời hai quyển Toán T1 và Toán T2 luôn được xếp cạnh nhau.

Trong không gian với hệ tọa độ (Oxyz), cho mặt cầu $\left(S\right):\hspace{0.17em}{x}^2+y^2+z^2-2x+4z-4=0$. Độ dài đường kính của (S) là:

Trong không gian với hệ tọa độ (Oxyz), cho đường thẳng . Điểm nào thuộc $d:\frac{x-1}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z+2}{1}$c đường thẳng d?