Trong mặt phẳng (P) cho tam giác OAB cân tại O, $OA=OB=2a, \widehat{AOB}=120°$. Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (P) tại O lấy hai điểm C, D nằm về hai phía của mặt phẳng (P) sao cho tam giác ABC vuông tại C và tam giác ABD đều. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.

Trong năm đầu tiên đi làm, anh A được nhận lương là 10 triệu đồng mỗi tháng. Cứ hết một năm, anh A lại được tăng lương, mỗi tháng năm sau tăng 12% so với mỗi tháng năm trước. Mỗi khi lĩnh lương, anh A đều phải cất đi phần lương tăng so với năm ngay trước để tiết kiệm mua ô tô. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm thì anh A mua được ô tô giá 500 triệu, biết rằng anh A được gia đình hỗ trợ 32% giá trị chiếc xe?

Biết ${\int }_0^1\frac{\left(x^2+5x+6\right)e^x}{x+2+e^{-x}}dx=a.e-b-\ln \frac{a.e+c}{3}$ với a, b, c là các số nguyên tố và e là cơ số của logarit tự nhiên. Tính $S=2a+b+c$.

Cho hai số thực dương x, y thõa mãn điều kiện $2xy+{\log }_2{\left(xy+x\right)}^x=8$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $P=2x^2+y$

Cho khối trụ tam giác $ABC.A\text{'}B\text{'}C\text{'}$ có đáy là tam giác vuông cân với cạnh huyền $AB=\sqrt{2}$. Mặt phẳng (AA'B) vuông góc với mặt phẳng (ABC), $AA\text{'}=\sqrt{3}$, góc A'AB nhọn và mặt phẳng (A'AC) tạo với (ABC) một góc $60°$. Thể tích khối lăng trụ  bằng

Xét hai số phức $z_1, z_2$ thay đổi thõa mãn $\left|z_1-z_2\right|=\left|z_1+z_2+4-2i\right|=2$. Gọi A, B lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức ${\left|z_1\right|}^2+{\left|z_2\right|}^2$. Gía trị của AB là

Cho 0 < a < 1. Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

Cho hình (H) là hình phẳng giới hạn bởi parabol $y=x^2-4x+4$, đường cong $y=x^3$ và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ). Tính diện tích S của hình (H)

Phương trình $9^x-3m.3^x+3m=0$ có 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi $m>\frac{a}{b}\left(a,b\in \mathrm{\mathbb{Z}}\right); \frac{a}{b}$ là phân số tối giản. Giá trị của biểu thức (b-a) bằng 

Cho ${\int }_0^1\frac{dx}{\sqrt{x+2}+\sqrt{x+1}}=a\sqrt{b}-\frac{8}{3}\sqrt{a}+\frac{2}{3}\left(a,b\in \mathrm{\mathbb{N}}*\right)$. Tính $a+2b\frac{1}{2}$

Cho hai số phức $z_1, z_2$ có điểm biểu diễn lần lượt là $M_1, M_2$ cùng thuộc đường tròn có phương trình $x^2+y^2=1$ và $\left|z_1-z_2\right|=1$. Tính giá trị biểu thức $P=\left|z_1+z_2\right|$

Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số đôi một khác nhau?

Cho số phức $z=6+7i$. Số phức liên hợp của z có điểm biểu diễn hình học là:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng $\left(P\right):x+y-4z=0$, đường thẳng $d:\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z-3}{1}$ và điểm A(1;3;1) thuộc mặt phẳng (P). Gọi $∆$ là đường thẳng đi qua A, nằm trong mặt phẳng (P) và cách d một khoảng cách lớn nhất. Gọi $\overrightarrow{u}=\left(1;b;c\right)$ là một vecto chỉ phương của đường thẳng $∆$. Tính b+c

Gọi $z_0$ là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình $z^2-6z+13=0$. Tính $\left|z_0+1-i\right|$

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m trên $\left[-1;5\right]$ để hàm số $y=\frac{1}{3}{x}^3-x^2+mx+1$ đồng biến trên khoảng $\left(-\infty ;+\infty \right)$?