Cho tứ diện ABCD có ABC và DBC là hai tam giác đều cạnh chung BC = 2. Gọi I là trung điểm của BC, $\widehat{AID}=2\alpha$ mà $\cos 2\alpha =\frac{-1}{3}$. Hãy xác định tâm O của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện đó.

Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 8, AD = 5. Tích $\overrightarrow{AB.}\overrightarrow{BD}$ là

Cho hàm số $f\text{'}\left(x\right)={\left(x-2\right)}^2\left(x^2-4x+3\right)$ với mọi $x\in \mathrm{ℝ}$. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số $y=f\left(x^2-10x+m+9\right)$ có 5 điểm cực trị?

Số thực x thỏa mãn ${\log }_2\left({\log }_{4}x\right)={\log }_4\left({\log }_{2}x\right)-a, a\in \mathrm{ℝ}$. Giá trị của ${\log }_{2}x$ bằng bao nhiêu?

Tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình ${\left(\sqrt{10}+1\right)}^x-m{\left(\sqrt{10}-1\right)}^x>3^{x+1}$ nghiệm đúng với mọi $x\in \mathrm{ℝ}$ là

Cho cung lượng giác có số đo x thỏa mãn tan x = 2. Giá trị của biểu thức $M=\frac{\sin x-3{\cos }^{2}x}{3{\sin }^{3}x-2\cos x}$ bằng

Với các số thực dương x, y. Ta có $8^x, 4^4, 2$ theo thứ tự lập thành một cấp số nhân và các số ${\log }_{2}45, {\log }_{2}y, {\log }_{2}x$ theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Khi đó y bằng:

Cho hàm số $f\left(x\right)={\sin }^{2}2x.\sin x$. Hàm số nào dưới đây là nguyên hàm của hàm $f\left(x\right)$

Cho hàm số f(x) liên tục trên $\mathrm{ℝ}$ thỏa mãn ${\int }_0^{6}f\left(x\right)dx=7, {\int }_3^{10}f\left(x\right)dx=8, {\int }_3^{6}f\left(x\right)dx=9$. Giá trị của $I={\int }_0^{10}f\left(x\right)dx$ bằng

Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang cân đáy lớn AD. Gọi M, N lần lượt là hai trung điểm của AB, CD. Gọi (P) là mặt phẳng đi qua MN và cắt mặt bên (SBC) theo một giao tuyến. Thiết diện của (P) và hình chóp là:

Biết n là số tự nhiên thỏa mãn $1.2C_n^1+2.3C_n^2+...+n\left(n+1\right)C_n^n=180.2^{n-2}$. Số hạng có hệ số lớn nhất trong khai triển ${\left(1+x\right)}^n$ là

Cho $a,b>0;{\log }_{3}a=p; {\log }_{3}b=q$. Đẳng thức nào dưới đây đúng?

Cho hàm số $y=\frac{3x-1}{x+2}$. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [0;2]. Khi đó 4M – 2m bằng

Cho hàm số $y=2{\cos }^{3}x-3{\cos }^{2}x-m\cos x$. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng $\left(0;\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right)$

Tất cả các giá trị của m để phương trình $9^{\left|\cos x\right|}-\left(m-1\right)3^{\left|\cos x\right|}-m-2=0$ có nghiệm thực là:

Trong mặt phẳng Oxy, khoảng cách từ điểm M(0;4) đến đường thẳng $∆:x\cos \alpha +\sin \alpha +4\left(2-\sin \alpha \right)=0$ bằng