Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; R’) tiếp xúc ngoài tại A. Đường nối tâm OO’ cắt (O), (O’) lần lượt tại B, C. Dây DE của (O) vuông góc với BC tại trung điểm K của BC.

a) Chứng minh BDCE là hình thoi.

b) Gọi I là giao điểm của EC và (O’). Chứng minh D, A, I thẳng hàng.

c) Chứng minh KI là tiếp tuyến của (O’).

Phân tích đề bài

c) KI là tiếp tuyến của (O’)

                     $\Updownarrow$

                $KI\perp I{O}^{\text{'}}$

                     $\Updownarrow$

              $\widehat{I_2}+\widehat{I_3}=90°$

                     $\Updownarrow$ có $\widehat{AIC}=90°$

                  $\widehat{I_2}=\widehat{I_1}$

Giải chi tiết

a) Vì BC vuông góc với đường thẳng DE nên DK = EK (quan hệ đường kính và dây cung).

Mà BK = CK (giả thiết), do đó tứ giác BDCE là hình bình hành, lại có $BC\perp DE$ nên BDCE là hình thoi.

b) Vì tam giác BDA nội tiếp đường tròn (O) có BA là đường kính nên  vuông tại D.

Gọi I’ là giao điểm của DA với CE thì $\widehat{A{I}^{\text{'}}C}=90°$ (vì so le trong với $\widehat{BDA}$).           (1)

Lại có $\Delta AIC$ vuông tại I ($\Delta AIC$ nội tiếp đường tròn (O’) có AC là đường kính)

$\Rightarrow \widehat{AIC}=90°$.                                                                                                              (2)

Từ (1) và (2) suy ra I = I’. Vậy D, A, I thẳng hàng.

c) Vì $\Delta DIE$ vuông tại I có IK là trung tuyến ứng với cạnh huyền DE nên KD = KI = KE.

$\Rightarrow \widehat{D_1}=\widehat{AIK}$.                                                                                                               (3)

Lại có $\widehat{D_1}=\widehat{C_1}$ (cùng phụ với $\widehat{DEC}$).                                                                         (4)

            $\widehat{C_1}=\widehat{I_1}$ (vì IO’ = CO’ là bán kính của đường tròn (O’)).                                (5)

Từ (3), (4), (5) suy ra $\widehat{I_1}=\widehat{I_2}\Rightarrow \widehat{I_2}+\widehat{I_3}=\widehat{I_1}+\widehat{I_3}=90°$ hay $\widehat{KI{O}^{\text{'}}}=90°$. Do đó KI vuông góc với bán kính O’I của đường tròn (O’). Vậy KI là tiếp tuyến của đường tròn (O’).