Cho hai đường tròn (O)và (O’) tiếp xúc ngoài tại I. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài MN với M thuộc (O) và N thuộc (O’). Gọi P là điểm đối xứng với M qua OO’, Q là điểm đối xứng với N qua OO’. Chứng minh rằng:

a) MNPQ là hình thang cân.

b) PQ là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O)và (O’).

c) $MN+PQ=MP+NQ$.

Phân tích đề bài

a) MNPQ là hình thang cân $\iff \left\{\begin{array}{l}MNQP\text{ là hình thang}\\ \widehat{HMN}=\widehat{HPQ}\end{array}\right.$

b) PQ là tiếp tuyến của đường tròn (O)

                                 $\Updownarrow$

                            $PQ\perp OP$

                                 $\Updownarrow$

                           $\widehat{OPQ}=90°$

Tương tự với chứng minh PQ là tiếp tuyến của đường tròn (O’).

c) Ta thấy MP và NQ là hai đáy của hình thang MNPQ nên tổng MP + NQ gấp 2 lần độ dài đường trung bình của hình thang MNPQ. Dựng EF là tiếp tuyến chung trong của hai đường tròn. Ta chứng mính được EF là đường trung bình của hình thang MNPQ.

$\Rightarrow MP+NQ=2EF$.

Áp dụng tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau ta chứng minh được $MN+PQ=2EF$.

Giải chi tiết

a) Vì P đối xứng với M qua OO’ (1) và Q đối xứng với N qua OO’ (2) nên:

$\left\{\begin{array}{l}MP\perp O{O}^{\text{'}}\\ NQ\perp O{O}^{\text{'}}\end{array}\right.\Rightarrow MP//NQ\Rightarrow MNQP$ là hình thang.                                                    (3)

Lại có H đối xứng với H qua OO’.                                                                              (4)

Từ (1),(2) và (4) suy ra $\widehat{HMN}$ đối xứng với $\widehat{HPQ}$ qua OO’ nên $\widehat{HMN}=\widehat{HPQ}$.      (5)

Từ (3) và (5) suy ra MNPQ là hình thang cân.

b) Vì P đối xứng với M qua OO’ nên $P\in \left(O\right)$. Khi đó OM = OP nên $\Delta OMP$ cân tại O.

$\Rightarrow \widehat{OMH}=\widehat{OPH}$.                                                                                                         (6)

Từ (5) và (6) suy ra $\widehat{HPQ}+\widehat{OPH}=\widehat{HMN}+\widehat{OMH}=\widehat{OMN}=90°\Rightarrow OP\perp PQ$ hay PQ là tiếp tuyến của đường tròn (O).

Tương tự ta cũng có PQ là tiếp tuyến của (O’).

Vậy PQ là tiếp tuyến của hai đường tròn (O) và (O’).

c) Ta có (O) và (O’) tiếp xúc với nhau tại I. Qua I kẻ tiếp tuyến chung của hai đường tròn.

Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: $EM=EI=EN;FP=FI=FQ$.

Ta có: $MN+PQ=EM+EN+FP+FQ=EI+EI+FI+FI=2\left(EI+FI\right)=2EF=MP+NQ$ (vì EF là đường trung bình của hình thang MNPQ).

Vậy $MN+PQ=MP+NQ$.

Chú ý:

Ở câu c) các em có thể mắc phải sai lầm như sau:

“Gọi E, F lần lượt là trung điểm của MN, PQ. Suy ra EF là đường trung bình của hình thang MNPQ$\Rightarrow EF\text{//}MP\text{//}NQ\Rightarrow EF\perp O{O}^{\text{'}}\Rightarrow EF$ cũng là tiếp tuyến chung của hai đường tròn.”

Bởi vì ta chưa biết chắc được EF có vuông góc với bán kính của (O) tại một điểm thuộc (O) hay không. Tương tự với đường tròn (O’).