Chứng minh định lí: “Nếu một tứ giác \[ABCD\] có tổng các cạnh đối bằng nhau \[AB + CD = BC + AD\] thì tứ giác đó ngoại tiếp được một đường tròn” bằng cách chứng minh các tia phân giác của bốn góc \[A,B,C,D\] cùng gặp nhau tại một điểm.
Giải bởi Vietjack
Ta chỉ cần chứng minh các tia phân giác của ba góc \[A,B,D\] gặp nhau tại một điểm. Xét hai trường hợp:
Trường hợp 1: Nếu \[AB = BC\] thì từ giả thiết suy ra \[CD = AD\].
Xét \[\Delta ABD\] và \[\Delta CBD\] có \[AB = BC\], \[AD = DC\] và \[BD\] chung nên \[\Delta ABD = \Delta CBD\left( {{\rm{c}}{\rm{.c}}{\rm{.c}}} \right)\].
Do đó \[BD\] là đường phân giác của các góc \[B\] và \[D\].
Gọi \[O\] là giao điểm của tia phân giác góc \[A\] với \[BD\]. Suy ra \[BO,DO\] là các tia phân giác của các góc \[B\] và \[D\].
Trường hợp 2: Nếu \[AB \ne BC\], giả sử \[AB > BC\], suy ra \[DA > DC\].
Lấy điểm \[M\] trên \[AB\], điểm \[N\] trên \[AD\] sao cho \[BM = BC,DN = DC\].
Từ giả thiết suy ra \[AM = AN\]. Các đường phân giác của các góc \[A,B,D\] chính là các đường trung trực của tam giác \[CMN\] nên chúng gặp nhau tại một điểm \[O\].
Vậy điểm \[O\] là tâm của đường tròn nội tiếp tứ giác \[ABCD\].
Gói VIP thi online tại VietJack (chỉ 200k/1 năm học), luyện tập gần 1 triệu câu hỏi có đáp án chi tiết
Cho tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\]. Đường tròn \[\left( O \right)\] nội tiếp tam giác \[ABC\] tiếp xúc với \[AB,AC\] lần lượt tại \[D,E\].
Tính bán kính của đường tròn \[\left( O \right)\] biết \[AB = 3{\rm{ cm}},AC = 4{\rm{ cm}}\].
Cho đường tròn \[\left( O \right)\] nội tiếp tam giác \[ABC\]. \[D,E,F\] lần lượt là các tiếp điểm \[AB,BC,CA\] với \[\left( O \right)\].
Tìm các hệ thức tương tự hệ thức ở bài trước.
Tứ giác \[ABCD\] ngoại tiếp đường tròn \[\left( O \right)\], đồng thời nội tiếp một đường tròn khác. \[AB = 14{\rm{ cm}},BC = 18{\rm{ cm}},CD = 26{\rm{ cm}}\]. Gọi \[H\] là tiếp điểm của \[CD\] và đường tròn \[\left( O \right)\]. Tính các độ dài \[HC,HD\].
Cho tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\]. Đường tròn \[\left( O \right)\] nội tiếp tam giác \[ABC\] tiếp xúc với \[AB,AC\] lần lượt tại \[D,E\].
Tứ giác \[ADOE\] là hình gì? Vì sao?
Cho đường tròn \[\left( O \right)\] nội tiếp tam giác \[ABC\]. \[D,E,F\] lần lượt là các tiếp điểm \[AB,BC,CA\] với \[\left( O \right)\].
Chứng minh rằng \[2AD = AB + AC - BC\].
Cho đường tròn tâm \[O\], các dây \[AB,CD\] vuông góc với nhau. Các tiếp tuyến với đường tròn tại \[A,B,C,D\] cắt nhau lần lượt tại \[E,F,G,H\]. Chứng minh rằng \[EFGH\] là tứ giác nội tiếp.
