Cho đường tròn \[\left( O \right)\] nội tiếp tam giác \[ABC\]. \[D,E,F\] lần lượt là các tiếp điểm \[AB,BC,CA\] với \[\left( O \right)\].
Tìm các hệ thức tương tự hệ thức ở bài trước.
Giải bởi Vietjack
Chứng minh tương tự câu a) ta cũng có các hệ thức sau:
\[2BD = 2BE = AB + BC - AC;{\rm{ }}2CE = 2CF = BC + AC - AB\]
Ví dụ 3: Cho hình thang \[ABCD\] vuông tại hai đỉnh \[A\] và \[D\], ngoại tiếp đường tròn \[\left( O \right)\].
Tìm độ dài các cạnh \[AB\] và \[CD\], biết rằng \[OB = 6{\rm{ cm}}\] và \[OC = 8{\rm{ cm}}\].
Giải chi tiết
Do \[ABCD\] ngoại tiếp đường tròn \[\left( O \right)\] nên các cạnh của hình thang \[ABCD\] là tiếp tuyến của \[\left( O \right)\].
Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau suy ra \[BO\] và \[CO\] lần lượt là tia phân giác của góc \[\widehat {ABC},{\rm{ }}\widehat {BCD}\].
Xét \[\Delta BOC\] có: \[\widehat {OBC} + \widehat {OCB} = \frac{{\widehat {ABC} + \widehat {BCD}}}{2} = \frac{{180^\circ }}{2} = 90^\circ \].
Suy ra \[\Delta BOC\] vuông \[O\]. Áp dụng định lí Pitago trong tam giác vuông này ta có:
\[B{C^2} = O{B^2} + O{C^2} = {6^2} + {8^2} = 100 \Rightarrow BC = 10{\rm{ cm}}\].
Giả sử đường tròn \[\left( O \right)\] tiếp xúc với \[BC\] tại \[K\], suy ra \[OK \bot BC\].
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \[OBC\], với \[OK\] là đường cao, ta có:
\[\frac{1}{{O{K^2}}} = \frac{1}{{O{B^2}}} + \frac{1}{{O{C^2}}} = \frac{1}{{{6^2}}} + \frac{1}{{{8^2}}} = \frac{{25}}{{576}} \Rightarrow OK = \frac{{24}}{5}{\rm{ cm}}\].
Gọi \[E,F\] lần lượt là tiếp điểm của \[AB\] và \[CD\] với đường tròn \[\left( O \right)\].
Suy ra \[OE = OK = \frac{{24}}{5}\] (bán kính đường tròn \[\left( O \right)\]).
Kẻ \[BH \bot CD\left( {H \in CD} \right)\]. Ta thấy: \[BH = EF = 2OK = \frac{{48}}{5}{\rm{ cm}}\].
Tương tự, áp dụng định lí Pitago trong tam giác vuông \[HBC\] ta được \[HC = \frac{{14}}{5}{\rm{ cm}}\].
Ta có \[OE \bot AB\] (do \[AB\] là tiếp tuyến của \[\left( O \right)\]). Mặt khác \[AO\] là tia phân giác của góc \[\widehat {DAB}\]
\[ \Rightarrow \widehat {OAE} = 45^\circ \].
Suy ra tam giác \[AOE\] vuông cân \[ \Rightarrow AE = OE = \frac{{24}}{5}{\rm{ cm}}\].
Áp dụng định lí Pitago trong tam giác vuông \[OEB\] ta được \[BE = \frac{{18}}{5}{\rm{ cm}}\].
Vậy \[AB = AE + EB = \frac{{24}}{5} + \frac{{18}}{5} = \frac{{42}}{5}{\rm{ cm}}\].
\[CD = DH + HC = AB + HC = \frac{{42}}{5} + \frac{{14}}{5} = \frac{{56}}{5}{\rm{cm}}\].
Gói VIP thi online tại VietJack (chỉ 400k/1 năm học), luyện tập gần 1 triệu câu hỏi có đáp án chi tiết
Cho tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\]. Đường tròn \[\left( O \right)\] nội tiếp tam giác \[ABC\] tiếp xúc với \[AB,AC\] lần lượt tại \[D,E\].
Tính bán kính của đường tròn \[\left( O \right)\] biết \[AB = 3{\rm{ cm}},AC = 4{\rm{ cm}}\].
Tứ giác \[ABCD\] ngoại tiếp đường tròn \[\left( O \right)\], đồng thời nội tiếp một đường tròn khác. \[AB = 14{\rm{ cm}},BC = 18{\rm{ cm}},CD = 26{\rm{ cm}}\]. Gọi \[H\] là tiếp điểm của \[CD\] và đường tròn \[\left( O \right)\]. Tính các độ dài \[HC,HD\].
Chứng minh định lí: “Nếu một tứ giác \[ABCD\] có tổng các cạnh đối bằng nhau \[AB + CD = BC + AD\] thì tứ giác đó ngoại tiếp được một đường tròn” bằng cách chứng minh các tia phân giác của bốn góc \[A,B,C,D\] cùng gặp nhau tại một điểm.
Cho tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\]. Đường tròn \[\left( O \right)\] nội tiếp tam giác \[ABC\] tiếp xúc với \[AB,AC\] lần lượt tại \[D,E\].
Tứ giác \[ADOE\] là hình gì? Vì sao?
Cho đường tròn \[\left( O \right)\] nội tiếp tam giác \[ABC\]. \[D,E,F\] lần lượt là các tiếp điểm \[AB,BC,CA\] với \[\left( O \right)\].
Chứng minh rằng \[2AD = AB + AC - BC\].
Cho đường tròn tâm \[O\], các dây \[AB,CD\] vuông góc với nhau. Các tiếp tuyến với đường tròn tại \[A,B,C,D\] cắt nhau lần lượt tại \[E,F,G,H\]. Chứng minh rằng \[EFGH\] là tứ giác nội tiếp.
