Tìm tất cả các tam giác vuông có số đo các cạnh là các số nguyên dương và số đo diện tích bằng số đo chu vi.

Xem lời giải

Giải bởi Vietjack

Khi đó, ta có: a, b, c là các số nguyên dương và $1 \leq b \leq c < a$ .

Diện tích tam giác ABC là: $S_{A B C} = \frac{1}{2} b c$ .

Chu vi tam giác ABC là: a + b + c.

Theo đầu bài, ta có: $a + b + c = \frac{1}{2} b c$

$\Leftrightarrow 2 (a + b + c) = b c$ ()

Do tam giác ABC vuông tại A nên ta có: $a^{2} = b^{2} + c^{2}$ (định lý Py – ta – go)

$\Leftrightarrow a^{2} = {(b + c)}^{2} - 2 b c$

$\Leftrightarrow a^{2} = {(b + c)}^{2} - 4 (a + b + c)$

$\Leftrightarrow a^{2} = {(b + c)}^{2} - 4 a - 4 (b + c)$

$\Leftrightarrow a^{2} + 4 a = {(b + c)}^{2} - 4 (b + c)$

$\Leftrightarrow a^{2} + 4 a + 4 = {(b + c)}^{2} - 4 (b + c) + 4$

$\Leftrightarrow {(a + 2)}^{2} = {(b + c - 2)}^{2}$

$\Leftrightarrow a + 2 = b + c - 2 (b + c \geq 2)$

$\Leftrightarrow a = b + c - 4$

Thay a = b + c – 4 vào () ta được:

2(b + c – 4 + b + c) = bc

$\Leftrightarrow$ 4b + 4c – 8 – bc = 0

$\Leftrightarrow$ (4b – bc) + (4c – 16) = - 8

$\Leftrightarrow$ b(4 – c) + 4(c – 4) = - 8

$\Leftrightarrow$ (b – 4)(4 – c) = - 8

$\Leftrightarrow$ (b – 4)(c – 4) = 8

Vì b, c là các số nguyên dương nên ta có các trường hợp sau:

TH1: ${\begin{cases} b - 4 = 4 \\ c - 4 = 2 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} b = 8 \\ c = 6 \end{cases} \Rightarrow a^{2} = 8^{2} + 6^{2} = 100 \Leftrightarrow a = 10.$

TH2: ${\begin{cases} b - 4 = 1 \\ c - 4 = 8 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} b = 5 \\ c = 12 \end{cases} \Rightarrow a^{2} = 5^{2} + 12^{2} = 169 \Leftrightarrow a = 13.$

Vậy có hai tam giác vuông thỏa mãn yêu cầu bài toán là hai tam giác có các kích thước là: (6, 8, 10) và (5, 12, 13).

Gói VIP thi online tại VietJack (chỉ 400k/1 năm học), luyện tập gần 1 triệu câu hỏi có đáp án chi tiết

Xem đáp án » 10/10/2022 336

Xem đáp án » 10/10/2022 324

Xem đáp án » 10/10/2022 215

Xem đáp án » 10/10/2022 159

Xem đáp án » 10/10/2022 124

Xem thêm »

Xem thêm »

Xem thêm »