Thứ sáu, 01/11/2024
IMG-LOGO

Câu hỏi:

21/07/2024 283

Trong không gian cho hai tia Ax,By chéo nhau sao cho AB vuông góc với cả hai tia đó. Các điểm M,N  lần lượt thay đổi trên Ax,By  sao cho độ dài đoạn MN luôn bằng giá trị c không đổi (c ≤AB). Gọi φ là góc giữa Ax,By. Giá trị lớn nhất của AM.BN là:

A. c2-AB22(1-cosφ)

Đáp án chính xác

B. c2-AB22(1+cosφ)

C. c2+AB22(1-cosφ)

D. c2+AB22(1+cosφ)

 Xem lời giải  Xem lý thuyết

Trả lời:

verified Giải bởi Vietjack

Ta có:

c2=MN2=MN2=(MA+AB+BN)2=MA2+AB2+BN2+2MA.AB+2AB.BN+2MA.BN=AM2+AB2+BN2+2.0+2.0+2AM.BN=AM2+AB2+BN2-2AM.BNcosφAB2+2AM.BN-2AM.BNcosφ=AB2+2AM.BN.(1-cosφ)AM.BNc2-AB22(1-cosφ)

Vậy biểu thức AM.BN đạt giá trị lớn nhất bằng c2-AB22(1-cosφ)

Đáp án cần chọn là: A

Câu trả lời này có hữu ích không?

0

Gói VIP thi online tại VietJack (chỉ 400k/1 năm học), luyện tập gần 1 triệu câu hỏi có đáp án chi tiết

ĐĂNG KÝ VIP

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Cho ba vectơ a,b,c không đồng phẳng. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

Xem đáp án » 31/07/2021 6,642

Câu 2:

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Xác định vị trí các điểm M, N lần lượt trên AC và DC' sao cho MN// BD’. Tính tỉ số MNBD' bằng?

Xem đáp án » 31/07/2021 5,841

Câu 3:

Cho tứ diện ABCD. Gọi I,J lần lượt là trung điểm của AB và CD, G là trung điểm của IJ. Xác định vị trí của M để MA+MB+MC+MD nhỏ nhất.

Xem đáp án » 31/07/2021 2,876

Câu 4:

Cho tứ diện ABCD. Lấy các điểm M, N, P, Q lần lượt thuộc AB, BC, CD, DA sao cho AM=13AB,BN=23BC,AQ=12AD,DP=kDC.

Hãy xác định k để M, N, P, Q đồng phẳng.

Xem đáp án » 31/07/2021 2,473

Câu 5:

Cho tứ diện ABCD. Gọi E, F là các điểm thỏa mãn EA=kEB,FD=kFC còn P, Q, R là các điểm xác định bởi PA=lPD,QE=lQF,RB=lRC. Chứng minh ba điểm P, Q, R thẳng hàng. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Xem đáp án » 31/07/2021 2,094

Câu 6:

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Một đường thẳng cắt các đường thẳng AA', BC, C'D' lần lượt tại M, N, P sao cho NM=2NP. Tính MAMA'.

Xem đáp án » 31/07/2021 1,504

Câu 7:

Giả sử M, N, P là ba điểm lần lượt nằm trên ba cạnh SA, SB, SC của tứ diện SABC. Gọi I là giao điểm của ba mặt phẳng (BCM), (CAN), (ABP) và J là giao điểm của ba mặt phẳng (ANP), (BPM), (CMN).

Ta được S, I, J thẳng hàng tính đẳng thức nào sau đây đúng?

Xem đáp án » 31/07/2021 1,089

Câu 8:

Cho hình hộp ABCD.A1B1C1D1 . M là điểm trên cạnh AD sao cho AM=13AD. N là điểm trên đường thẳng BD1. P là điểm trên đường thẳng CC1 sao cho M,N,P thẳng hàng.

Tính MNNP=23

Xem đáp án » 31/07/2021 800

Câu 9:

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' và các điểm M, N, P xác định bởi MA=kMB'k0,NB=xNC',PC=yPD'.

Hãy tính x, y theo k để ba điểm M, N, P thẳng hàng.

Xem đáp án » 31/07/2021 493

LÝ THUYẾT

I. Định nghĩa và các phép toán về vecto trong không gian.

Cho đoạn thẳng AB trong không gian. Nếu ta chọn điểm đầu là A, điểm cuối là B ta có một vecto, được kí hiệu là AB.

1. Định nghĩa.

- Vecto trong không gian là một đoạn thẳng có hướng. Kí hiệu ABchỉ vecto có điểm đầu là A, điểm cuối là B. Vecto còn được kí hiệu là a;  b;  x;  y....

- Các khái niệm liên quan đến vecto như giá của vecto, độ dài của vecto, sự cùng phương, cùng hướng của vecto, vecto – không, sự bằng nhau của hai vecto ….được định nghĩa tương tự như trong mặt phẳng.

2. Phép cộng và phép trừ vecto trong không gian,

- Phép cộng và phép trừ của hai vecto trong không gian được định nghĩa tương tự như phép cộng và phép trừ hai vecto trong mặt phẳng.

- Phép cộng vecto trong không gian cũng có các tính chất như phép cộng vecto trong mặt phẳng. Khi thực hiện phép cộng vecto trong không gian ta vẫn có thể áp dụng quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành như đối với vecto trong hình học phẳng.

Ví dụ 1. Cho tứ diện ABCD. Chứng minh DA+​  BC=  BA  +​  DC

Lời giải:

Bài 1 : Vectơ trong không gian (ảnh 1)

Áp dụng quy tắc ba điểm ta có: DA  =DC+CA

Ta có: DA+​  BC=DC+CA   +​  BC=  DC+​  BC+​  CA=  DC  +​  BA

( điều phải chứng minh).

II. Điều kiện đồng phẳng của ba vecto.

1. Khái niệm về sự đồng phẳng của ba vecto trong không gian.

Trong không gian cho ba vecto a;b;  c  0. Nếu từ một điểm O bất kì ta vẽ: OA  =a;OB  =b;OC=  c thì có thể xảy ra hai trường hợp:

+ Trường hợp các đường thẳng OA; OB; OC không cùng nằm trong một mặt phẳng, khi đó ta nói rằng ba vecto a;b;  c   không đồng phẳng.

+ Trường hợp các đường thẳng OA; OB; OC cùng nằm trong một mặt phẳng thì ta nói rằng ba vecto a;b;  c   đồng phẳng.

Trong trường hợp này, giá của các vecto a;b;  c   luôn luôn song song với một mặt phẳng.

Bài 1 : Vectơ trong không gian (ảnh 1)

- Chú ý. Việc xác định sự đồng phẳng hoặc không đồng phẳng của ba vecto nói trên không phụ thuộc vào việc chọn điểm O.

2. Định nghĩa:

Trong không gian ba vecto được gọi là đồng phẳng nếu các giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng.

Bài 1 : Vectơ trong không gian (ảnh 1)

Ví dụ 2. Cho hình hộp ABCD.EFGH. Gọi I là tâm hình bình hành  ABEF  và K  là tâm hình bình hành BCGF. Chứng minh BD,IK,GF đồng phẳng .

Lời giải :

Bài 1 : Vectơ trong không gian (ảnh 1)

Xét  tam giác FAC có I ; K lần lượt là trung điểm của AF và FC nên IK là  đường trung bình của tam   giác.

 IK// AC nên  IK// mp ( ABCD) .

Vì BC// GF nên GF // mp( ABCD)

Ta có :IK//(ABCD)GF//(ABCD)BD(ABCD)  

 BD,IK,GF đồng phẳng.

3. Điều kiện để ba vecto đồng phẳng.

Định lí 1.

Trong không gian cho hai vecto a;bkhông cùng phương và vecto c. Khi đó, ba vecto a;  b;  c đồng phẳng khi và chỉ khi có cặp số m; n sao cho c  =  ma+n  b. Ngoài ra, cặp số m; n là suy nhất.

- Định lí 2.

Trong không gian cho ba vecto không đồng phẳng a;  b;  c. Khi đó, với mọi vecto x ta đều tìm được một bộ ba số m, n, p sao cho x  =ma+n  b+p  c. Ngoài ra, bộ ba số m; n; p là duy nhất.

Ví dụ 3. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ gọi M  là trung điểm của  BB’ . Đặt CA  =a;  CB=b;AA'=  c . Phân tích vecto AM theo a;  b;  c.

Lời giải:

Bài 1 : Vectơ trong không gian (ảnh 1)

 Áp dụng quy tắc 3 điểm và quy tắc hiệu hai vecto ta có :

AM=AB+BM=CBCA+12BB' ( BM  =  12BB' vì  M là  trung  điểm của BB’) .

=ba+12AA'=ba+12c.

Câu hỏi mới nhất

Xem thêm »
Xem thêm »