Cho a + b + c = 0; a² + b² + c² = 2.

Tính giá trị của biểu thức: A = a⁴ + b⁴ + c⁴.

Cho hình bình hành ABCD, đường chéo BD. Kẻ AH và CK vuông góc với BD ở H và ở K. Chứng minh tứ giác AHCK là hình bình hành.

Giải phương trình: x³ ‒ 3x ‒ 4 = 0.

Cho \[M = \frac{2}{{\sqrt x - 1}} + \frac{2}{{\sqrt x + 1}} - \frac{{5 - \sqrt x }}{{x - 1}}\] với x ≥ 0, x ≠ 1.

a) Rút gọn M.

b) Tính giá trị của M khi x = 4.

c) Tìm x ∈ ℝ để M có giá trị nguyên.

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số \[y = \sqrt {5 - m\sin x - (m + 1)\cos x} \] xác định trên ℝ?

Chứng minh 5²ⁿ⁻¹.2ⁿ⁺¹ + 3ⁿ⁺¹.2²ⁿ⁻¹ chia hết cho 38.

Cho tập hợp A = (‒1; 5]; B = (2; 7]. Tìm A \ B.

Cho tam giác ABC vuông tại A. Vẽ ra ngoài tam giác một hình vuông BCDE. Gọi O là giao điểm hai đường chéo của hình vuông. Chứng minh AO là tia phân giác của \[\widehat {BAC}\].

Cho tam giác ABC vuông ở A và hình vuông BCDE. Chứng minh rằng: 

AB + AC ≤ CE.

Cho tam giác nhọn ABC, trực tâm H, M là trung điểm của BC. Qua H kẻ đường thẳng vuông góc với HM, cắt AB và AC theo thứ tự ở E và F.

a) Trên tia đối của tia HC, lấy điểm D sao cho HD = HC. Chứng minh rằng E là trực tâm của tam giác DBH.

b) Chứng minh rằng HE = HF.

Cho tam giác ABC vuông tại A (AB > AC) có I là trung điểm BC và AH là đường cao. Chứng minh \[BC.IH = \frac{1}{2}\left( {A{B^2} - A{C^2}} \right)\].

Cho tam giác ABC có E là trung điểm của AC. Qua E kẻ ED // AB (D thuộc BC), EF // BC (F thuộc AB) cho tam giác ABC có E là trung điểm của AC. Chứng minh rằng tứ giác BDEF là hình bình hành và D là trung điểm của đoạn thẳng BC.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng a, cạnh SA vuông góc với (ABCD) và SA = a. Tính khoảng cách SC và BD.

Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của OB, OD.

a) Chứng minh ANCM là hình bình hành.

b) Qua N kẻ NK song song với OC (K thuộc CD) biết AC = 10cm. Tính NK.

Chứng minh biểu thức sau luôn lớn hơn 0 với mọi x:

A = x² + 5x + 9.

Cho các tập A = {0, 1, 2, 3} , B = {0, 2, 4, 6} , C = {0, 3, 4, 5}.

Tìm (A ∪ B) ∖ (B ∪ C).

Tìm A hợp B hợp C, biết: \[A = \left[ {1;4} \right]\]; \[B = \left( {2;6} \right)\]; \[C = \left( {1;2} \right)\]

5 phút bằng một phần mấy của giờ?

Tìm GTLN, GTNN của: \[y = \sin 2x + \sqrt 3 {\cos ^2}x + 1\] \[\]

Xác định tham số m để hàm số y = f(x) = 3msin4x + cos2x là hàm số chẵn.

Giải phương trình:

\[\frac{{{x^2}}}{{{x^2} + 2x + 2}} + \frac{{{x^2}}}{{{x^2} - 2x + 2}} = \frac{{5\left( {{x^2} - 5} \right)}}{{{x^4} + 4}} + \frac{{25}}{4}\].

Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6. Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau và nhất thiết phải có chữ số 1 và 5

Từ các chữ số của tập hợp {0; 1; 2; 3; 4; 5}, có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau mà trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 0?

Từ các chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9, hỏi lập được bao nhiêu số tự nhiên mỗi số có 4 chữ số khác nhau, và trong đó có bao nhiêu số mà chữ số đứng sau lớn hơn chữ số đứng trước.

Tìm x để P² > P biết \[P = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}}\].

Tìm tất các giá trị thực của tham số m để phương trình (m – 2)x + m² – 3m +2 = 0 có tập nghiệm là ℝ.

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để trên (−1; 1), hàm số \[y = \frac{{mx + 6}}{{2x + m + 1}}\] nghịch biến.

Tìm số nguyên tố p sao cho p + 8 và p + 16 đều là các số nguyên tố.

Tìm số tự nhiên n để: n²⁰²¹ + n²⁰²⁰ + 1 là số nguyên tố.

Từ điểm M nằm ngoài đường tròn (O) kẻ các tiếp tuyến MP và MQ với đường tròn biết tam giác MPQ đều cạnh bằng \[15\sqrt 3 \]cm. Tính đường kính của đường tròn.

Tìm tổng tất cả các nghiệm của phương trình sinx = ‒1 trên đoạn bằng [0; 4π].

Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất y = sinx ‒ cosx.

So sánh 4³⁰ và 3.24¹⁰.

Cho đa thức P(x) = x² + bx + c, trong đó b và c là các số nguyên. Biết đa thức x⁴ + 6x² + 25 và đa thức 3x⁴ + 4x² + 28x + 5 đều chia hết cho P(x). Tính P(1).

Cho tam giác ABC cân tại A, M thuộc AB, kẻ MN song song BC (N thuộc AC). Chứng minh rằng:

a) Tam giác AMN cân.

b) Kẻ ME song song AC. Chứng minh tam giác MBE cân.

Một đội công nhân có 40 người được giao nhiệm vụ hoàn thành một công việc trong 15 ngày. Sau khi làm được 3 ngày thì 20 công nhân được điều đi nơi khác. Hỏi đội công nhân đó hoàn thành công việc được giao trong bao nhiêu ngày? Biết rằng năng suất làm việc của mỗi người là như nhau.

Một đội công nhân có 120 người được giao đắp một đoạn đường dài 4 km mỗi ngày phải làm việc 8 giờ. Trước khi khởi công, đội được điều thêm 30 người về làm và được giao đắp thêm 1 km đường nữa. Hỏi để hoàn thành đúng kế hoạch thì mỗi ngày phải làm việc mấy giờ?

Một đội công nhân gồm 8 người được giao đắp một đoạn mương trong 20 ngày. Sau khi đắp được 5 ngày, đội đó được bổ sung thêm 16 người về cùng làm. Hỏi đơn vị đó đắp xong đoạn mương được giao trong bao nhiêu ngày? Biết rằng năng suất làm việc của mọi người trong một ngày là như nhau.

Một đội 10 người trong một ngày đào được 35 m nương. Người ta bổ sung thêm 20 người nữa cùng đào thì trong một ngày đào được bao nhiêu mét mương? (Mức đào của mỗi người như nhau).

Chứng minh rằng 1 số chính phương có số ước là 1 số lẻ.

Mẹ bạn hân gửi 100 triệu đồng vào ngân hàng theo hình thức có kì hạn 12 tháng với lãi suất 6% một năm. Hỏi sau một năm mẹ bạn hân nhận được bao nhiêu tiền lãi?

Mẹ Lan gửi tiết kiệm 100 triệu đồng với lãi suất 0,7% một năm. Sau 1 năm mẹ lan nhận được cả vốn và lãi là bao nhiêu tiền?

Chứng minh đẳng thức: (1 + sin x)(cot x – cos x) = cos³ x.

Chứng minh \[1 + tanx + ta{n^2}x + ta{n^3}x = \frac{{{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + \cos x}}{{{{\cos }^3}x}}\].

Trong tam giác ABC có độ dài các cạnh BC = a; AC = b; AB = c. Chứng minh: (b² – c²).cos A = a(c.cos C – b.cos B)

Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB. Qua điểm C thuộc nửa đường tròn, kẻ tiếp tuyến d của đường tròn. Gọi E và F lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ A đến B đến d. Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ C đến AB. Chứng minh rằng AC là tia phân giác của góc \[\widehat {BAE}\].

Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB. Qua điểm C thuộc nửa đường tròn, kẻ tiếp tuyến d của đường tròn. Gọi E và F lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ A đến B đến d. Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ C đến AB. Chứng minh rằng. CE = CF.

Cho tập hợp  A = 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7. Hỏi từ tập A có thể lập được bao nhiêu chữ số tự nhiên gồm 5 chữ số đôi một khác nhau sao cho một trong 3 chữ số đầu tiên phải bằng 1?