Tìm số tự nhiên n để: n2021 + n2020 + 1 là số nguyên tố.
Giải bởi Vietjack
Ta có:
n2021 + n2020 + 1
= n2021 ‒ n2 + n2020 ‒ n + n2 + n +1
= n2(n2019 ‒ 1) + n(n2019 ‒ 1) + (n2 + n +1)
= (n2 + n)(n2019 ‒ 1) + (n2 + n +1)
= n(n + 1)(n2019 ‒ 1) + (n2 + n +1) (1)
Để ý rằng, 2019 chia hết cho 3 và 2019 = 3.673
Nên nếu đặt A = n3 thì n2019 = A673
Mặt khác áp dụng hằng đẳng thức sau:
ak ‒ bk = (a ‒ b)(ak‒1 + ak‒2b1 + ak‒3b2 +...+ a1bk‒2 + bk‒1)
Ta có: n2019 ‒ 1 = A673 ‒ 1 = A673 ‒ 1673 = (A ‒ 1)(A672 + A671 + ... + A1 + 1)
⇒ n2019 ‒ 1 ⋮ (A ‒ 1) hay n2019 ‒ 1 ⋮ (n3 ‒ 1)
Mà n3 ‒ 1 = (n ‒ 1)(n2 + n +1) ⇒ n2019 ‒ 1 ⋮ (n2 + n +1) (2)
Từ (1) và (2) ⇒ n2021 + n2020 + 1 ⋮ (n2 + n +1)
Như vậy để n2021 + n2020 + 1 là một số nguyên tố thì có hai trường hợp:
1. n2 + n +1 = 1, trường hợp này không xảy ra do n > 0 (giả thiết)
2. n2021 + n2020 + 1 = n2 + n +1 hay n2020(n + 1) = n(n + 1) ⇒ n(n + 1)(n2019 ‒ 1) = 0
Do n > 0 nên n2019 ‒ 1 = 0 ⇒ n = 1
Thử lại ta có: n2021 + n2020 + 1 = 12021 + 12020 + 1 = 3 là số nguyên tố.
Vậy n = 1 là đáp án cần tìm.Gói VIP thi online tại VietJack (chỉ 200k/1 năm học), luyện tập gần 1 triệu câu hỏi có đáp án chi tiết
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng a, cạnh SA vuông góc với (ABCD) và SA = a. Tính khoảng cách SC và BD.
Cho tam giác nhọn ABC, trực tâm H, M là trung điểm của BC. Qua H kẻ đường thẳng vuông góc với HM, cắt AB và AC theo thứ tự ở E và F.
a) Trên tia đối của tia HC, lấy điểm D sao cho HD = HC. Chứng minh rằng E là trực tâm của tam giác DBH.
b) Chứng minh rằng HE = HF.
Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của OB, OD.
a) Chứng minh ANCM là hình bình hành.
b) Qua N kẻ NK song song với OC (K thuộc CD) biết AC = 10cm. Tính NK.
Cho tam giác ABC vuông tại A (AB > AC) có I là trung điểm BC và AH là đường cao. Chứng minh \[BC.IH = \frac{1}{2}\left( {A{B^2} - A{C^2}} \right)\].
Từ các chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9, hỏi lập được bao nhiêu số tự nhiên mỗi số có 4 chữ số khác nhau, và trong đó có bao nhiêu số mà chữ số đứng sau lớn hơn chữ số đứng trước.
Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6. Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau và nhất thiết phải có chữ số 1 và 5
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số \[y = \sqrt {5 - m\sin x - (m + 1)\cos x} \] xác định trên ℝ?
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để trên (−1; 1), hàm số \[y = \frac{{mx + 6}}{{2x + m + 1}}\] nghịch biến.
Từ các chữ số của tập hợp {0; 1; 2; 3; 4; 5}, có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau mà trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 0?
Cho đa thức P(x) = x2 + bx + c, trong đó b và c là các số nguyên. Biết đa thức x4 + 6x2 + 25 và đa thức 3x4 + 4x2 + 28x + 5 đều chia hết cho P(x). Tính P(1).
Tìm số nguyên tố p sao cho p + 8 và p + 16 đều là các số nguyên tố.
Giải phương trình:
\[\frac{{{x^2}}}{{{x^2} + 2x + 2}} + \frac{{{x^2}}}{{{x^2} - 2x + 2}} = \frac{{5\left( {{x^2} - 5} \right)}}{{{x^4} + 4}} + \frac{{25}}{4}\].
Cho tam giác ABC vuông tại A. Vẽ ra ngoài tam giác một hình vuông BCDE. Gọi O là giao điểm hai đường chéo của hình vuông. Chứng minh AO là tia phân giác của \[\widehat {BAC}\].
