Cho \[A = \left( { - \infty ;\,\,2} \right];\,\,B = \left[ {3;\,\, + \infty } \right);\,\,C = \left( {0;\,\,4} \right)\]. Tìm A ∩ B, (A ∪ B) ∩ C.

Ta có: A = [−4; 7], B = (−∞; −2) ∪ (3; +∞)

Do đó A ∩ B = [−4; −2) ∪ (3; 7].

Vậy A ∩ B = [−4; −2) ∪ (3; 7].

Áp dụng định lí côsin trong tam giác  ta có: 

BC² = AB² + AC² − 2AB.AC.cos\[\widehat A\]= 4² + 6² − 2.4.6.cos120°

= 16 + 36 + 24 = 76

\[ \Rightarrow BC = \sqrt {76} \approx 8,72\]

Vậy BC = 8,72 cm.

Theo định lí cosin, ta có:

AB² = BC² + AC² – 2.BC.AC.cos\[\widehat C\]

⇔ 196 = BC² + AC² – 2.BC.AC.cos120°

⇔ 196 = BC² + AC² + BC.AC (1)

Ta lại có: BC + AC = 16 ⇒ AC = 16 – BC thay vào (1), ta được:

196 = BC² + (16 – BC)² + BC(16 – BC)

⇔ BC² – 16BC + 60 = 0 

\[ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{BC = 10}\\{BC = 6\,\,}\end{array}} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{AC = 6\,\,\,}\\{AC = 10\,}\end{array}} \right.\]

Vậy AC = 6 cm và BC = 10 cm hoặc AC = 10 cm và BC = 6 cm.

a⁵ – a = a(a⁴ – 1) = a(a² – 1)(a² + 1) = a(a – 1)(a + 1)(a² – 4 + 5)

= a(a – 1)(a + 1)(a² – 4) + 5a(a – 1)(a + 1)

= a(a – 1)(a + 1)(a – 2)(a + 2) + 5a(a – 1)(a + 1)

Do a(a – 1)(a + 1)(a – 2)(a + 2) là tích 5 số nguyên liên tiếp nên tồn tại 1 số chia hết cho 2; 1 số chia hết cho 3 và 1 số chia hết cho 5

Þ a(a – 1)(a + 1)(a – 2)(a + 2) chia hết cho 30

Mặt khác, a(a – 1)(a + 1) là tích 3 số nguyên liên tiếp nên a(a – 1)(a + 1) chia hết cho 6

Þ 5a(a – 1)(a + 1) chia hết cho 30

Þ a(a – 1)(a + 1)(a – 2)(a + 2) + 5a(a – 1)(a + 1) chia hết cho 30

Vậy a⁵ – a chia hết cho 30.

Đổi: 1 km = 1000 m

Ta có sơ đồ:

Độ dài đoạn đường MB là:

1000 : (2 + 3) ´ 3 = 600 (m)

Đáp số: 600 m

Ta có: \[A = \frac{{2{m^2} - 4m + 5}}{{{m^2} - 2m + 2}}\]

\[A = \frac{{2{m^2} - 4m + 2 + 3}}{{{m^2} - 2m + 1 + 1}}\]

\[A = \frac{{2\left( {{m^2} - 2m + 1} \right) + 3}}{{{m^2} - 2m + 1 + 1}}\]

\[A = \frac{{2{{\left( {m - 1} \right)}^2} + 3}}{{{{\left( {m - 1} \right)}^2} + 1}} \ge \frac{3}{1} = 3\] (do (m – 1)² ≥ 0)

Dấu “=” xảy ra Û m – 1 = 0 Û m = 1

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 3 khi m = 1.

Ta có: P = x² + 2xy + 3y² + 5y + 10

= (x² + 2xy + y²) + (2y² + 5y + 10) 

\[ = {(x + y)^2} + 2{\left( {{y^2} + \frac{5}{2}y + 5} \right)^2} = {(x + y)^2} + 2\left( {{y^2} + \frac{5}{2}y + \frac{{25}}{{16}} + \frac{{55}}{{16}}} \right)\]

\[ = {(x + y)^2} + 2{\left( {y + \frac{5}{4}} \right)^2} + \frac{{55}}{8} \ge \frac{{55}}{8}\]

Dấu "=" xảy ra \[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y = 0}\\{y + \frac{5}{4} = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{5}{4}}\\{y = \frac{{ - 5}}{4}}\end{array}} \right.\]

Vậy giá trị nhỏ nhất của \[P = \frac{{55}}{8}\] khi \[x = \frac{5}{4};\,\,y = \frac{{ - 5}}{4}\].

Trung bình cộng của 4 số đó là:

(10 + 30 + 50 + 70) : 4 = 40

Đáp số: 40

Số số hạng của dãy số trên là:

(86 – 14) : 6 + 1 = 13 (số)

Tổng của dãy số trên là:

(14 + 86) ´ 13 : 2 = 650

Trung bình cộng của dãy số trên là:

650 : 13 = 50

Đáp số: 50

sin(2x + 1) = cos(3x + 2)

\[ \Leftrightarrow \sin (2x + 1) = \sin \left( {\frac{\pi }{2} - 3x - 2} \right)\]

\[ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x + 1 = \frac{\pi }{2} - 3x - 2 + k2\pi }\\{2x + 1 = \pi - \frac{\pi }{2} + 3x + 2 + k2\pi }\end{array}} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{\pi }{{10}} - \frac{3}{5} + \frac{{k2\pi }}{5}}\\{x = - \frac{\pi }{2} - 1 - k2\pi }\end{array}} \right.\,\,(k \in \mathbb{Z})\]

Vậy giá trị x cần tìm là \[x = \frac{\pi }{{10}} - \frac{3}{5} + \frac{{k2\pi }}{5}\] hoặc \[x = - \frac{\pi }{2} - 1 - k2\pi \].

Ta có: \[\sin 3x - \sqrt 3 \cos 3x = 2\sin 2x\]

\[ \Leftrightarrow 2\sin \left( {3x - \frac{\pi }{3}} \right) = 2\sin 2x\]

\[ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{3x - \frac{\pi }{3} = 2x + k2\pi }\\{3x - \frac{\pi }{3} = \pi - 2x + k2\pi }\end{array}} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{\pi }{3} + k2\pi }\\{x = \frac{{2\pi }}{{15}} + \frac{{k2\pi }}{5}}\end{array}} \right.\,\,(k \in \mathbb{Z})\]

Vậy các giá trị x thoả mãn là \[x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \] hoặc \[x = \,\frac{{2\pi }}{{15}} + \frac{{k2\pi }}{5}\].

Mỗi cách xếp 20 thí sinh vào 20 vị trí của một phòng thi là một hoán vị của 20 phần tử,

Số cách xếp là:

P₂₀ = 20! (cách)

Vậy có 20! cách sắp xếp thoả mãn đề bài.

Số phần tử của không gian mẫu là:

n(W) = (24!)⁴

Gọi A : “Bạn Nam có đúng 2 lần ngồi vào cùng 1 vị trí”

Chọn 2 lượt thi mà Nam ngồi trùng vị trí có: \[C_4^2\] cách

Trong 2 lượt đó, lượt đầu: Nam có 24 cách chọn vị trí, có 23! cách xếp vị trí cho 23 thí sinh còn lại; lượt sau: Nam có 1 cách chọn vị trí, có 23! cách xếp vị trí cho 23 thí sinh còn lại.

\[A_{23}^2.{(23!)^2}\]

\[n(A) = (24.23!)(1.23!).\left( {A_{23}^2.{{(23!)}^2}} \right)\]

\[ = {(23!)^4}.24.22\]

\[ \Rightarrow P(A) = \frac{{C_4^2.{{(23!)}^4}.24.23.22}}{{{{(24!)}^4}}}\]

\[ = \frac{{6.23.22}}{{24.24.24}} = \frac{{253}}{{1152}}\]

Vậy xác suất để trong 4 lần thi bạn Nam có đúng 2 lần ngồi vào cùng 1 vị trí là \[\frac{{253}}{{1152}}\].

Ta có: sin x + cos x = m

⇔ (sin x + cos x)² = m²

⇔ sin² x + 2sin x.cos x + cos²x = m²

⇔ (sin² x + cos² x) + 2sin x.cos x = m²

⇔ 1 + 2sin x.cos x = m²

\[ \Leftrightarrow \sin x.\cos x = \frac{{{m^2} - 1}}{2}\]

\[ \Rightarrow M = \frac{{{m^2} - 1}}{2}\]

Vậy \[M = \frac{{{m^2} - 1}}{2}\].

\[A = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + ... + \frac{1}{{{2^{2012}}}}\]

\[ \Leftrightarrow 2A = 2 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + ... + \frac{1}{{{2^{2011}}}}\]

\[ \Leftrightarrow 2A - A = \left( {2 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + ... + \frac{1}{{{2^{2011}}}}} \right) - \left( {1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + ... + \frac{1}{{{2^{2012}}}}} \right)\]

\[ \Leftrightarrow 2A - A = 2 - \frac{1}{{{2^{2012}}}}\]

\[ \Leftrightarrow A = \frac{{{2^{2012}} + 1}}{{{2^{2012}}}}\]

Vậy \[A = \frac{{{2^{2012}} + 1}}{{{2^{2012}}}}\].

A = 1 + 3 + 3² + 3³ + … + 3⁹⁹ + 3¹⁰⁰

Ta có: 3A = 3 + 3² + 3³ + … + 3⁹⁹ + 3¹⁰⁰ + 3¹⁰¹ 

Khi đó:

3A – A = (3 + 3² + 3³ + … + 3⁹⁹ + 3¹⁰⁰ + 3¹⁰¹) – (1 + 3 + 3² + 3³ + … + 3⁹⁹ + 3¹⁰⁰)

= 3¹⁰¹ – 1.

Û 2A = 3¹⁰¹  – 1

\[ \Leftrightarrow A = \frac{{{3^{101}} - 1}}{2}\]

Vậy \[A = \frac{{{3^{101}} - 1}}{2}\].

Đặt \[\overrightarrow u = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} + \overrightarrow {OE} \]

Ta có: \[\overrightarrow u = \overrightarrow {OA} + \left( {\overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OE} } \right) + \left( {\overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} } \right)\].

Do OA nằm trên đường phân giác của \[\widehat {BOE}\] và \[\widehat {DOC}\] của hai tam giác cân BOE và DOC nên ta có các \[\overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OE} \] và \[\overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} \] nằm trên đường thẳng OA

Þ \[\overrightarrow u \] nằm trên đường thẳng OA.

Chứng minh tương tự ta có \[\overrightarrow u \]cũng đồng thời nằm trên đường thẳng OB.

Mà OA và OB không cùng phương nên \[\overrightarrow u = \overrightarrow 0 \].

Vậy \[\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} + \overrightarrow {OE} = \overrightarrow 0 \].

A ∪ B: tập hợp các học sinh hoặc học lớp 10 hoặc học môn Tiếng Anh của trường em.

A ∩ B: tập hợp các học sinh lớp 10 học môn Tiếng Anh của trường em.

A \ B: tập hợp các học sinh học lớp 10 nhưng không học môn Tiếng Anh của trường em.

B \ A: tập hợp các học sinh học môn Tiếng Anh của trường em nhưng không học lớp 10 của trường em.

Ta có: A = {1; 3} và B = {1; 2}

A ∪ B={1; 2; 3}

A ∩ B = {1}

A \ B = {3}

B \ A = {2}

Theo giả thiết đề bài cho, ta có biểu đồ Ven:

Dựa vào biểu đồ Ven ta thấy:

Số học sinh chỉ giỏi Toán và Lý (không giỏi Hóa) là: 

6 – 3 = 3 (em)

Số học sinh chỉ giỏi Toán và Hóa (không giỏi Lý) là: 

4 – 3 = 1 (em)

Số học sinh chỉ giỏi Lý và Hóa (không giỏi Toán) là: 

5 – 3 = 2 (em)

Số học sinh chỉ giỏi một môn Toán là: 

10 – 3 – 3 – 1 = 3 (em)

Số học sinh chỉ giỏi một môn Lý là: 

10 – 3 – 3 – 2 = 2 (em)

Số học sinh chỉ giỏi một môn Hóa là: 

11 – 1 – 3 – 2 = 5 (em)

Số học sinh giỏi ít nhất một trong ba môn là:

3 + 2 + 5 + 1 + 2 + 3 + 3 =19 (em)

Đáp số: 19 em

Ta có sơ đồ Ven:

Số học sinh giỏi ít nhất hai môn là:

7 + 6 + 8 = 21 (em)

Vậy số học sinh giỏi cả ba môn Toán, Văn, Anh là:

22 + 25 + 20 – 40 – 21 = 6 (em)

Đáp số: 6 em.

cos² 3x = 1

Û sin² 3x = 0

Û sin 3x = 0

\[ \Leftrightarrow 3x = k\pi \,\,(k \in \mathbb{Z})\]

\[ \Leftrightarrow x = \frac{{k\pi }}{3}\,\,(k \in \mathbb{Z})\]

Vậy \[x = \frac{{k\pi }}{3}\,\,(k \in \mathbb{Z})\].

Ta có: sin 2x + sin x = 0

Û sin 2x = –sin x

Û sin 2x = sin (–x)

\[ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x = - x + k2\pi \,\,\,\,\,}\\{2x = \pi + x + k2\pi }\end{array}} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{3x = k2\pi \,\,\,\,\,}\\{x = \pi + k2\pi }\end{array}} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{{k2\pi \,}}{3}\,\,\,\,\,\,\,}\\{x = \pi + k2\pi }\end{array}} \right.\]

Vì \[x \in \left[ {0;2\pi } \right)\] nên tập nghiệm của phương trình là \[S = \left\{ {0;\,\,\frac{{2\pi }}{3};\,\,\pi ;\,\,\frac{{4\pi }}{3}} \right\}\].

Vậy tập nghiệm của phương trình là \[S = \left\{ {0;\,\,\frac{{2\pi }}{3};\,\,\pi ;\,\,\frac{{4\pi }}{3}} \right\}\].

4^{2x – 3} = 2¹⁴

4^{2x – 3} = (2²)⁷

4^{2x – 3} = 4⁷

Û 2x – 3 = 7

Û 2x = 10

Û x = 5

Vậy x = 5.

\[{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{1 - 2x}} = {2^{9 - 3x}}\]

Û (2^{– 1})^{1 – 2x} = 2^{9 – 3x}

Û 2^{2x – 1} = 2^{9 – 3x}

Û 2x – 1 = 9 – 3x

Û 5x = 10

Û x = 2

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = 2.

Tập A ∪ B = {đỏ; cam; vàng; lục; lam; chàm; tím}.

Các phần tử vừa thuộc tập hợp A và B là: lục; lam.

Do đó A ∩ B = {lục; lam}.

Vậy A ∪ B = {đỏ; cam; vàng; lục; lam; chàm; tím} và A ∩ B = {lục; lam}.

Vì mọi tam giác đều là tam giác cân nên tập A là tập hợp con của B.

Khi đó A ∪ B = B và A ∩ B = A.

Vậy A ∪ B = B và A ∩ B = A.

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có:

• \[\frac{a}{{{b^2} + 1}} = a - \frac{{a{b^2}}}{{{b^2} + 1}} \ge a - \frac{{a{b^2}}}{{2b}} = a - \frac{{a{b^2}}}{2}\];

• \[\frac{b}{{{c^2} + 1}} = b - \frac{{b{c^2}}}{{{c^2} + 1}} \ge b - \frac{{b{c^2}}}{{2c}} = b - \frac{{cb}}{2}\];

• \[\frac{c}{{{a^2} + 1}} = c - \frac{{c{a^2}}}{{{a^2} + 1}} \ge c - \frac{{c{a^2}}}{{2a}} = c - \frac{{ac}}{2}\].

Cộng ba vế bất đẳng thức lại ta được:

\[\frac{a}{{{b^2} + 1}} + \frac{b}{{{c^2} + 1}} + \frac{c}{{{a^2} + 1}} \ge a + b + c - \left( {\frac{{ab + bc + ac}}{2}} \right)\]

Ta có: \[ab + bc + ac \le \frac{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}{3} = \frac{9}{3} = 3\]

\[ \Rightarrow \frac{a}{{{b^2} + 1}} + \frac{b}{{{c^2} + 1}} + \frac{c}{{{a^2} + 1}} \ge 3 - \frac{3}{2} = \frac{3}{2}\]

Vậy \[\frac{a}{{{b^2} + 1}} + \frac{b}{{{c^2} + 1}} + \frac{c}{{{a^2} + 1}} \ge \frac{3}{2}\]

Từ giả thiết a + b + c = 0

Þ c = −(a + b), thay vào đẳng thức cần chứng minh ta được 

a³ + b³ − (a + b)³ = −3ab(a + b)

Û −3ab² − 3a²b = −3ab² − 3a²b

Vậy a³ + b³ + c³ = 3abc.

Ta có: B Ì A Û (m; +¥) Ì (2; +¥)

Do đó "x Î B

Þ x Î A

Þ m ³ 2.

Ta có:

• A Ç B = {x Î ℝ | 1 < x < 2}.

Đồ thị hàm số đi qua A và B nên:

\[\left\{ \begin{array}{l}a + b + c + d = - 7\\8a + 4b + 2c + d = - 8\end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}d = - 7 - a - b - c\\7a + 3b + c = - 1\end{array} \right.\]       (1)

Ta có y ′ = 3ax² + 2bx + c có 2 nghiệm x = 1 và x = 2 nên

\[\left\{ \begin{array}{l}3a + 2b + c = 0\,\,\,\,(2)\\12a + 4b + c = 0\,\,\,\,(3)\end{array} \right.\]

Từ (1), (2), (3) ta có a = 2; b = −9; c = 12 Þ d = −12

Khi đó y (−1) = −a + b − c + d = −35

Vậy y (−1) = −35.

Ta có: y’ = 3ax² + 2bx + c

• Đồ thị hàm số có điểm cực trị là gốc tọa độ, ta có:

\[\left\{ \begin{array}{l}y'(0) = 0\\y(0) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow c = d = 0\]

• Đồ thị hàm số có điểm cực trị là A (–1; –1), ta có:

\[\left\{ \begin{array}{l}y'( - 1) = 0\\y( - 1) = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3a - 2b = 0\\b - a = - 1\end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = - 3\end{array} \right.\]

Vậy hàm số là: y = –2x³ – 3x^2.

ABCD là hình thang cân 

\[ \Rightarrow \widehat {BCD} = \widehat {ADC} \Leftrightarrow \widehat {OCD} = \widehat {ODC}\]

Þ ΔODC cân tại O

Þ OC = OD

Mà AD = BC (ABCD là hình thang cân)

Þ OA = OB

Vậy ΔOAB cân tại O.

ABCD là hình thang cân 

\[ \Rightarrow \widehat {BCD} = \widehat {ADC} \Leftrightarrow \widehat {OCD} = \widehat {ODC}\]

Þ ΔODC cân tại O

Þ OC = OD

Mà AD = BC (ABCD là hình thang cân)

Þ OA = OB

Vậy ΔOAB cân tại O.

Áp dụng công thức tính diện tích tam giác, ta có:

\[{S_{ABC}} = \frac{1}{2}a.c.\sin B\]

\[\frac{1}{2}.4.5.\sin 150^\circ = 5\]

Vậy S_ABC  = 5 đvdt.

Theo định lý hàm số cosin, ta có:

\[\cos \widehat A = \frac{{A{B^2} + A{C^2} - B{C^2}}}{{2.AB.AC}}\]

\[ \Leftrightarrow \cos \widehat A = \frac{{{5^2} + {8^2} - {7^2}}}{{2.5.8}} = \frac{1}{2}\]

\[ \Leftrightarrow \widehat A = 60^\circ \]

Vậy \[\widehat A = 60^\circ \].

Áp dụng công thức:

\[\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R\]

Ta có: sin² A = sin² B + sin² C

\[ \Leftrightarrow {\left( {\frac{a}{{2R}}} \right)^2} = {\left( {\frac{b}{{2R}}} \right)^2} = {\left( {\frac{c}{{2R}}} \right)^2}\]

Û a² = b² + c²

Vậy tam giác ABC vuông tại A.

Ta có trong ΔABC có M là trung điểm của BC và N là trung điểm của AC

Þ PM là đường trung bình của ΔABC

Þ PM // AB và \[PM = \frac{1}{2}AB = NC\]

\[\overrightarrow {PM} = \overrightarrow {NC} \]

Ta có:

• \[\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AP} + \overrightarrow {PM} \]

• \[\overrightarrow {BN} = \overrightarrow {BP} + \overrightarrow {PN} \]

• \[\overrightarrow {CP} = \overrightarrow {CN} + \overrightarrow {NP} \]

\[\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {BN} + \overrightarrow {CP} = \overrightarrow {AP} + \overrightarrow {PM} + \overrightarrow {BP} + \overrightarrow {PN} + \overrightarrow {CN} + \overrightarrow {NP} \]

\[ = \overrightarrow {AP} + \overrightarrow {BP} + \overrightarrow {PM} + \overrightarrow {CN} \]

\[ = - \left( {\overrightarrow {PA} + \overrightarrow {PB} } \right) + \overrightarrow {CN} + \overrightarrow {NC} \]\[ = \overrightarrow 0 \]

Vậy \[\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {BN} + \overrightarrow {CP} = \overrightarrow 0 \].

Số tự nhiên thỏa mãn có dạng \[\;\overline {abcd} \]  với a, b, c, d ∈ A  và đôi một khác nhau.

Trường hợp 1: d = 0

Có 5 cách chọn a; 4 cách chọn b và 3 cách chọn c nên theo quy tắc nhân có  5.4.3 = 60 số.

Trường hợp 2: d ≠ 0 ; d có 2 cách chọn là 2, 4

Khi đó có 4 cách chọn a (vì a khác 0 và khác d); có 4 cách chọn b và 3 cách chọn c.

Theo quy tắc nhân có: 2.4.4.3 = 96 số

Có tất cả số số là: 96 + 60 = 156 (số)

Vậy có 156 số.

Gọi số đó là   a b c d e

Trường hợp 1: a = 1

+ b có 7 cách chọn.

+ c có 6 cách chọn.

+ d có 5 cách chọn.

+ e có 4 cách chọn.

Nên có: 7.6.5.4 = 840 số

Trường hợp 2:b = 1

+ a ≠ b , a ≠ 0 nên có 6 cách chọn.

+ c có 6 cách chọn.

+ d có 5 cách chọn.

+ e có 4 cách chọn.

Nên có: 6.6.5.4 = 720 số

Trường hợp 3: c = 1.

+ a ≠ c , a ≠ 0 nên có 6 cách chọn.

+ b có 6 cách chọn.

+ d có 5 cách chọn.

+ e có 4 cách chọn.

Nên có 6.6.5.4=720 số

Có tất cả số số là: 840 + 720 + 720 = 2280 (số)

Vậy có 2280 số.

Ta có:

a(b.cos C – c.cos B)

\[ = ab.\frac{{{b^2} + {a^2} - {c^2}}}{{2ab}} - ac.\frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}}\]

\[ = \frac{1}{2}\left( {{b^2} + {a^2} - {c^2} - {a^2} - {c^2} + {b^2}} \right)\]

= b² – c²

Vậy b² – c² = a(b.cos C – c.cos B).

Ta có: a(c.cos C – b.cos B) = accosC – abcosB

\[ = ac.\frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}} - ab.\frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}}\]

\[ = c.\frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2b}} - b.\frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2c}}\]

\[ = \frac{{{a^2}{c^2} + {c^2}{b^2} - {c^4} - {b^2}{a^2} - {b^2}{c^2} + {b^4}}}{{2bc}}\]

\[ = \frac{{{b^2}\left( {{b^2} + {c^2} - {a^2}} \right) - {c^2}\left( {{b^2} + {c^2} - {a^2}} \right)}}{{2bc}}\]

\[ = \left( {{b^2} - {c^2}} \right)\frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}\]

\[ = \left( {{b^2} - {c^2}} \right)\cos A\]

Vậy (b² – c²).cos A = a(c.cos C – b.cos B)

\[1 + tanx + ta{n^2}x + ta{n^3}x\]

\[8:\frac{5}{4} \times \frac{5}{4} = 8\]

\[ = \frac{{{{\cos }^3}x + {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}.{{\cos }^2}x + {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{i}}{{\rm{n}}^2}{\rm{x}}.\cos x + {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{i}}{{\rm{n}}^3}{\rm{x}}}}{{{{\cos }^3}x}}\]

\[ = \frac{{{{\cos }^2}x.({\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + \cos x) + {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{i}}{{\rm{n}}^2}{\rm{x}}.({\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + \cos x)}}{{{{\cos }^3}x}}\]

Vậy \[1 + tanx + ta{n^2}x + ta{n^3}x = \frac{{{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + \cos x}}{{{{\cos }^3}x}}\].

\[\left( {1 + sinx} \right)\left( {\cot x--cosx} \right)\]

\[ = (1 + \sin x)(\frac{{\cos x}}{{\sin x}} - \cos x)\]

\[ = \cos x(1 + \sin x).\frac{{1 - \sin x}}{{\sin x}}\]

\[ = \frac{{\cos x(1 - {{\sin }^2}x)}}{{\sin x}} = \frac{{\cos x.{{\cos }^2}x}}{{\sin x}} = \frac{{{{\cos }^3}x}}{{\sin x}}\]

Vậy (1 + sin x)(cot x – cos x) = cos³ x.

100 triệu = 100 000 000 đồng

Số tiền lãi của mẹ Lan sau 1 năm là:

100 000 000 × 0,7 : 100 = 700 000 (đồng)

Số tiền gốc và lãi của mẹ Lan là:

100 000 000 + 700 000 = 100 700 000 (đồng)

Sau một năm mẹ bạn Hân nhận tổng cộng số phần trăm là:

100% + 6% = 106%

100 triệu = 100 000 000 đồng

Sau một năm mẹ bạn Hân nhận được số tiền là:

100 000 000 × 106 : 100 = 106 000 000 (đồng)

Số tiền lãi mẹ Hân nhận được số tiền là:

106 000 000 – 100 000 000 = 6 000 000 (đồng)

Đáp số: 6 000 000 đồng.

Gọi P là một số chính phương.

Ta có: P = k² (\[k \in \mathbb{N}\])

Giả sử k phân tích ra thừa số nguyên tố là k = ax.by.cz.... (a, b, c là các số nguyên tố)

Þ P = (ax.by.cz....)²

Þ P = a²x.b²y.c²z

Vì 2 chia hết cho 2 nên 2x, 2y, 2z, ... cũng chia hết cho 2

Þ 2x, 2y, 2z, ... là số chẵn

Số lượng ước của P là (2x + 1)(2y + 1)(2z + 1)...

Vì 2x, 2y, 2z, ... là số chẵn nên 2x + 1, 2y + 1, 2z + 1, ... là số lẻ

Þ (2x + 1)(2y + 1)(2z + 1)... là số lẻ

Þ Số lượng ước của P là 1 số lẻ

Vậy số chính phương luôn có số ước là 1 số lẻ.

Trong một ngày 20 người đào được số mét là:

35 × 20 : 10 = 70 (m)

Trong một ngày cả đội đó đào được số mét là:

35 + 70 = 105 (m)

Đáp số: 105 m mương.

Thời gian để đội công nhân đó làm xong công việc còn lại là:

20 − 5 = 15 (ngày)

Số người của đội đó sau khi được bổ sung thêm là:

8 + 16 = 24 (người)

Thời gian để 1 người làm xong công việc còn lại là:

15 × 8 =120 (ngày)

Thời gian để đội công nhân đó sau khi bổ sung thêm người hoàn thành công việc còn lại là:

120 : 24 = 5 (ngày)

Thời gian để đội công nhân hoàn thành toàn bộ công việc được giao là:

5 + 5 =10 (ngày)

Đáp số: 10 ngày.

Tổng số công nhân sau khi điều thêm là:

120 + 30 = 150 (người)

Đoạn đường đội công nhân đắp dài là:

4 + 1 = 5 (km)

150 công nhân gấp 120 công nhân số lần là:

\[150:120 = \frac{5}{4}\] (lần)

5 km gấp 4 km số lần là :

\[5:4 = \frac{5}{4}\] (lần)

Để hoàn thành đúng kế hoạch thì mỗi ngày phải làm việc là:

\[8:\frac{5}{4} \times \frac{5}{4} = 8\](giờ)

Đáp số: 8 giờ

1 ngày cần số người là:

40 × 15 = 600 (người)

3 ngày cần số người là:

40 × 3 = 120 (người)

Đội công nhân đó hoàn thành công việc được giao trong số ngày là:

(600 − 120) : (40 − 20) = 24 (ngày)

Đáp số: 24 ngày.