Giải sách bài tập Toán lớp 10 Bài 2: Tập hợp. Các phép toán trên tập hợp

Bài 18 trang 14 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tập hợp A = {x ∈ ℕ| x ≤ 4}. A là tập hợp nào sau đây?

A. {0; 1; 2; 3; 4};

B. (0; 4];

C. {0; 4};

D. {1; 2; 3; 4}.

Lời giải:

Đáp án đúng là A

Các phần tử thuộc tập hợp A là các số tự nhiên thỏa mãn bé hơn hoặc bằng 4. Do đó A = {0; 1; 2; 3; 4}.

Bài 19 trang 14 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tập hợp A = {0; 1; 2; 3; 4}, B = {3; 4; 5; 6}. Tập hợp A∪B bằng:

A. {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6};

B. {3; 4};

C. {0; 1; 2};

D. {5; 6}.

Lời giải:

Đáp án đúng là A

Tập hợp A∪B gồm các phần tử thuộc tập hợp A hoặc thuộc tập hợp B nên A∪B = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6}.

Bài 20 trang 14 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tập hợp A = {0; 1; 2; 3; 4}, B = {3; 4; 5; 6}. Tập hợp A \ B bằng:

A. {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6};

B. {3; 4};

C. {0; 1; 2};

D. {5; 6}.

Lời giải:

Đáp án đúng là C

Tập hợp A\B gồm các phần tử thuộc tập hợp A không thuộc tập hợp B nên A\B = {0; 1; 2}.

Bài 21 trang 14 SBT Toán 10 Tập 1: Cho hai tập hợp A = (– 3; 3], B = ( – 2; +∞). Tập hợp A∩B bằng:

A. {– 1; 0; 1; 2; 3};

B. [– 2; 3];

C. ( – 2; 3];

D. (– 3; +∞).

Lời giải:

Đáp án đúng là C

Ta có sơ đồ sau:

Tập hợp A∩B gồm các phần tử vừa thuộc tập hợp A vừa thuộc tập hợp B nên A∩B = ( – 2; 3].

Bài 22 trang 14 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tập hợp A = {x ∈ ℝ| x ≥ 2, x ≠ 5}. A là tập hợp nào sau đây?

 A. (2; +∞)\{5};

B. [2; 5);

C. (2; 5);

D. [2; +∞)\{5}.

Lời giải:

Đáp án đúng là D

Tập hợp A bao gồm các số thực thỏa mãn lớn hơn hoặc bằng 2 và khác 5 nên A = [2; +∞)\{5}.

Bài 23 trang 14 SBT Toán 10 Tập 1: Cho hai tập hợp A = {x ∈ ℝ| – 2 ≤ x ≤ 5}, B = {x ∈ ℤ | x² – x – 6 = 0}. Tập hợp A\B bằng:

 A. (– 2; 3);

B. (– 2; 3) ∪ (3; 5];

C. (3; 5];

D. [2; +∞)\{5}.

Lời giải:

Đáp án đúng là B

Ta có: A = {x ∈ ℝ| – 2 ≤ x ≤ 5} = [– 2; 5];

Xét phương trình x² – x – 6 = 0

⇔ (x + 2)(x – 3) = 0

⇔ $\left[\begin{array}{l}x+2=0\\ x-3=0\end{array}\right.$ 

⇔ $\left[\begin{array}{l}x=-2\\ x=3\end{array}\right.$ 

Vì – 2; 3 ∈ ℤ nên B = {– 2; 3}.

Tập hợp A\B gồm các phần tử thuộc tập hợp A nhưng không thuộc tập hợp B nên A\B = ( – 2; 5]\{3} hay A\B = (– 2; 3) ∪ (3; 5].

Bài 24 trang 14 SBT Toán 10 Tập 1: Cho hai tập hợp A = [– 1; +∞). Tập hợp C_ℝA bằng:

 A. (1; +∞);

B. (– ∞; – 1);

C. (– ∞; – 1];

D. [2; +∞)\{5}.

Lời giải:

Đáp án đúng là B

Tập hợp C_ℝA là tập hợp phần bủ của A trong ℝ nên C_ℝA = ( – ∞; – 1).

Bài 25 trang 14 SBT Toán 10 Tập 1: Gọi A là tập nghiệm của đa thức P(x), B là tập nghiệm của đa thức Q(x), C là tập nghiệm của đa thức P(x).Q(x). C là tập hợp nào sau đây?

A. A∪B;

B. A∩B;

C. A\B;

D. B\A.

Lời giải:

Đáp án đúng là A

Xét P(x).Q(x) = 0

⇔ $\left[\begin{array}{l}P\left(x\right)=0\\ Q\left(x\right)=0\end{array}\right.$

Do đó nghiệm của đa thức P(x).Q(x) là nghiệm của đa thức P(x) hoặc đa thức Q(x) nên C = A∪B.

Bài 26 trang 14 SBT Toán 10 Tập 1: Gọi A là tập nghiệm của đa thức P(x), B là tập nghiệm của đa thức Q(x), C là tập nghiệm của đa thức P²(x) + Q²(x). D là tập hợp nào sau đây?

A. A∪B;

B. A∩B;

C. A\B;

D. B\A.

Lời giải:

Đáp án đúng là B

Xét P²(x) + Q²(x) = 0

Với mọi giá trị thực của x: P²(x) ≥ 0 và Q²(x) ≥ 0 nên để P²(x) + Q²(x) = 0 thì P(x) = Q(x) = 0.

Do đó nghiệm của đa thức P(x).Q(x) là nghiệm của đa thức P(x) vừa là nghiệm của đa thức Q(x) nên C = A∩B.

Bài 27 trang 14 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tập hợp X = {a; b; c; d}. Viết tất cả các tập hợp con có ba phần tử của tập hợp X.

Lời giải:

Các tập hợp con có ba phần tử của tập hợp X là:

{a; b; c}, {a; b; d}, {a; c; d}, {b; c; d}.

Vậy các tập hợp con có ba phần tử của tập hợp X là: {a; b; c}, {a; b; d}, {a; c; d}, {b; c; d}.

Bài 28 trang 14 SBT Toán 10 Tập 1: Cho ba tập hợp: A là tập hợp các tam giác; B là tập hợp các tam giác cân; C là tập hợp các tam giác đều. Dùng kí hiệu ⊂ để mô tả quan hệ của hai trong các tập hợp trên.

Lời giải:

Ta có các tam giác cân, tam giác đều là tam giác. Do đó tập hợp B, tập hợp C là các tập hợp con của tập hợp A.

Ta lại có tam giác đều là tam giác cân nhưng tam giác cân chưa chắc là tam giác đều nên tập hợp C là tập con của tập hợp B.

Khi đó ta có: C ⊂ B ⊂ A.

Vậy ta có quan hệ của các tập hợp đã cho là: C ⊂ B ⊂ A.

Bài 29 trang 14 SBT Toán 10 Tập 1: Dùng kí hiệu ⊂ để mô tả mối quan hệ của hai tập hợp khác nhau trong các tập hợp sau: [– 1; 3]; (– 1; 3); [– 1; 3); (– 1; 3]; {– 1; 3}.

Lời giải:

Ta có:

[– 1; 3] = {x ∈ ℝ| – 1 ≤ x ≤ 3};

(– 1; 3) = {x ∈ ℝ| – 1 < x < 3};

[– 1; 3) = {x ∈ ℝ| – 1 ≤ x < 3};

(– 1; 3] = {x ∈ ℝ| – 1 < x ≤ 3};

{– 1; 3}

Khi đó ta có:

(– 1; 3) ⊂ [– 1; 3]; [– 1; 3) ⊂ [– 1; 3]; (– 1; 3] ⊂ [– 1; 3]; {– 1; 3} ⊂ [– 1; 3].

(– 1; 3) ⊂ [– 1; 3); (– 1; 3) ⊂ (– 1; 3].

Bài 30 trang 15 SBT Toán 10 Tập 1: Cho ba tập hợp sau: A = {x ∈ ℕ| x ⋮ 2}, B = {x ∈ ℕ| x ⋮ 3}, C = {x ∈ ℕ| x ⋮ 6}.

a) Dùng kí hiệu ⊂ để mô tả quan hệ của hai trong các tập hợp trên.

b) Xác định tập hợp A∩B, A∪C, B∩C.

Lời giải:

a) Nếu x là một số chia hết cho 6 thì x chia hết cho 2 và x chia hết cho 3. Do đó tập hợp C là tập hợp con của tập hợp A và tập hợp B. Nên ta viết: C ⊂ A, C ⊂ B.

Vậy C ⊂ A, C ⊂ B.

b) Tập hợp A∩B gồm các phần tử vừa thuộc tập hợp A và vừa thuộc tập hợp B nghĩa là các phần tử này vừa chia hết cho 2 và vừa chia hết cho 3 nên các phần tử của tập A∩B chia hết cho 6. Do đó A∩B = C.

Tập hợp A∪C gồm các phần tử thuộc tập hợp A hoặc thuộc tập hợp C nghĩa là các phần tử này hoặc chia hết cho 2 hoặc chia hết cho 6 mà chia hết cho 6 cũng là chia hết cho 2 nên các phần tử của tập A∪C chia hết cho 2. Do đó A∪C = A.

Tập hợp B∩C gồm các phần tử vừa chia hết cho 3 vừa chia hết cho 6 mà chia hết cho 3 cũng là chia hết cho 6 nên các phần tử của tập hợp B∩C chia hết cho 6. Do đó B∩C = C.

Vậy A∩B = C, A∪C = A, B∩C = C.

Bài 31 trang 15 SBT Toán 10 Tập 1: Xác định các tập hợp sau:

a) [– 2; 3] ∩ (0; 5);

b) [– 3; 1) ∩ (1; +∞);

c) (– ∞; 0) ∪ (– 2; 2];

d) (– ∞; 0) ∪ [0; +∞);

e) ℝ\[1; +∞);

g) [3; 5]\(4; 6).

Lời giải:

a) Ta có hình vẽ sau:

Vậy [– 2; 3] ∩ (0; 5) = (0; 3].

b) Ta có hình vẽ sau:

Vậy [– 3; 1] ∩ (1; +∞) = $\varnothing$.

c) Ta có hình vẽ sau:

Vậy (– ∞; 0) ∪ (– 2; 2] = (– ∞; 2].

d) Ta có hình vẽ sau:

Vậy (– ∞; 0) ∪ [0; +∞) = (– ∞; +∞)

e) Ta có hình vẽ sau:

Vậy ℝ\[1; +∞) = (–∞; 1)

g) Ta có hình vẽ sau:

Vậy [3; 5]\(4; 6) = [3; 4].

Bài 32 trang 15 SBT Toán 10 Tập 1: Cho A là một tập hợp. Xác định các tập hợp sau:

Lời giải:

a) Ta có: A∩A = A;

b) Ta có: A∩$\varnothing$ = $\varnothing$;

c) Ta có: A∪A = A;

d) Ta có: A∪$\varnothing$= A;

e) Ta có: A\A = $\varnothing$;

g) Ta có: A\$\varnothing$ = A.

Bài 33 trang 15 SBT Toán 10 Tập 1: Cho các tập hợp A. Có nhận xét gì về tập hợp B nếu:

a) A∩B = A;

b) A∩B = B;

c) A∪B = A;

d) A∪B = B;

e) A\B = $\varnothing$;

g) A\$\varnothing$ = B?

Lời giải:

a) Nếu A∩B = A thì tập A là tập con của tập B.

b) Nếu A∩B = B thì tập B là tập con của tập A.

c) Nếu A∪B = A thì tập B là tập hợp con của tập A.

d) Nếu A∪B = B thì tập A là tập hợp con của tập B.

e) Nếu A\B = $\varnothing$ thì tập A là tập con của tập B.

g) Nếu A\$\varnothing$ = B thì A = B.

Bài 34 trang 15 SBT Toán 10 Tập 1: Trong đợt văn nghệ chào mừng ngày 20/11, lớp 10A đăng kí tham gia hai tiết mục, đó là hát tốp ca và múa. Gọi A là tập hợp các học sinh tham gia hát tốp ca, B là tập hợp các học sinh tham gia múa, E là tập hợp các học sinh của lớp. Mô tả các tập hợp sau đây:

a) A∩B;

b) A∪B;

c) A\B;

d) E\A;

g) E\(A∪B).

Lời giải:

a) A∩B là tập hợp gồm các học sinh tham gia cả tiết mục hát và tiết mục múa.

b) A∪B là tập hợp gồm các học sinh tham gia ít nhất một tiết mục hát hoặc múa.

c) A\B là tập hợp gồm các học sinh chỉ tham gia tiết mục hát.

d) E\A là tập hợp gồm các học sinh của lớp 10A không tham gia tiết mục hát.

g) E\(A∪B) là tập hợp gồm các học sinh của lớp 10A không tham gia tiết mục nào.

Bài 35 trang 15 SBT Toán 10 Tập 1: Lớp 10A có 27 học sinh tham gia ít nhất một trong hai câu lạc bộ bóng đá và cờ vua, trong đó có 19 học sinh tham gia câu lạc bộ bóng đá, 15 học sinh tham gia câu lạc bộ cờ vua.

a) Có bao nhiêu học sinh tham gia câu lạc bộ bóng đá mà không tham gia câu lạc bộ cờ vua?

b) Có bao nhiêu học sinh tham gia cả hai câu lạc bộ?

c) Biết trong lớp có 8 học sinh không tham gia câu lạc bộ nào trong hai câu lạc bộ trên. Lớp 10A có bao nhiêu học sinh?

Lời giải:

Ta có sơ đồ Venn sau:

a) Gọi A là tập hợp học sinh tham gia câu lạc bộ bóng đá, B là tập hợp học sinh tham gia câu lạc bộ cờ vua.

Khi đó n(A) = 19, n(B) = 15.

Tập hợp học sinh tham gia câu lạc bộ bóng đá mà không tham gia câu lạc bộ cờ vua là tập A\B hay chính là tập hợp (A∪B)\B.

⇒ n((A∪B)\B) = n(A∪B) – n(B) = 27 – 15 = 12.

Vậy số học sinh tham gia câu lạc bộ bóng đá mà không tham gia câu lạc bộ cờ vua là 12 học sinh.

b) Tập hợp số học sinh tham gia cả hai câu lạc bộ là tập A∩B. Số phần tử của tập hợp A∩B bằng số học sinh tham gia câu lạc bộ bóng đá trừ đi số học sinh chỉ tham gia câu lạc bộ bóng đá.

⇒ n(A∩B) = n(A) – n(A\B) = 19 – 12 = 7.

Vậy số học sinh tham gia cả hai câu lạc bộ là 7 học sinh.

c) Tổng số học sinh của lớp 10A là: 27 + 8 = 35 (học sinh)

Vậy số học sinh của lớp 10A là 35 học sinh.

Bài 36 trang 15 SBT Toán 10 Tập 1: Tìm tập hợp D = E ∩ G, biết E và G lần lượt là tập nghiệm của hai bất phương trình trong mỗi trường hợp sau:

a) 5x – 2 > 0 và 3x + 7 ≥ 0;

b) 2x + 3 > 0 và 5x – 9 ≤ 0;

c) 9 – 3x ≥ 0 và 12 – 3x < 0.

Lời giải:

a) Xét bất phương trình 5x – 2 > 0 ⇔ x > $\frac{2}{5}$

⇒ E = {x ∈ ℝ| x > $\frac{2}{5}$} = $\left(\frac{2}{5};+\infty \right)$.

Xét bất phương trình 3x + 7 ≥ 0 ⇔ x ≥ $\frac{7}{3}$

⇒ G = {x ∈ ℝ| x  ≥ $\frac{7}{3}$} = $\left[-\frac{7}{3};+\infty \right)$.

Tập hợp E ∩ G là tập hợp các số thực x sao cho x > $\frac{2}{5}$ và x ≥ $-\frac{7}{3}$ hay E ∩ G = {x ∈ ℝ| x > $\frac{2}{5}$} = E.

⇒ D = E ∩ G = E.

Vậy D = E.

b) Xét bất phương trình: 2x + 3 > 0 ⇔ x > $-\frac{3}{2}$ 

⇒ E = {x ∈ ℝ| x > $-\frac{3}{2}$} = $\left(-\frac{3}{2};+\infty \right)$.

Xét bất phương trình 5x – 9 ≤ 0 ⇔ x ≤  

⇒ G = {x ∈ ℝ| x ≤ $\frac{9}{5}$} = $\left(-\infty ;\frac{9}{5}\right]$.

Tập hợp E ∩ G là tập hợp các số thực x sao cho x > $-\frac{3}{2}$ và x ≤ $\frac{9}{5}$ hay E ∩ G = {x ∈ ℝ| $-\frac{3}{2}$ < x ≤ $\frac{9}{5}$} = $\left(-\frac{3}{2};\frac{9}{5}\right]$.

⇒ D = E ∩ G = $\left(-\frac{3}{2};\frac{9}{5}\right]$.

Vậy D = $\left(-\frac{3}{2};\frac{9}{5}\right]$.

c) Xét bất phương trình 9 – 3x ≥ 0 ⇔ x ≤ 3

⇒ E = {x ∈ ℝ| x ≤ 3} = ( – ∞; 3].

Xét bất phương trình 12 – 3x < 0 ⇔ x > 4

⇒ G = {x ∈ ℝ| x > 4} = (4; +∞).

Tập hợp E ∩ G là tập hợp các số thực x sao cho x > 4 và x ≤ 3 hay E ∩ G = {x ∈ ℝ| x > 4 và x ≤ 3} = $\varnothing$.

⇒ D = E ∩ G = $\varnothing$.

Vậy D = $\varnothing$.

Bài 37 trang 15 SBT Toán 10 Tập 1: Cho các tập hợp: A = [– 1; 7], B = (m – 1; m + 5) với m là một tham số thực. Tìm m để:

a) B ⊂ A;

b) A ∩ B = $\varnothing$.

Lời giải:

a) Để B ⊂ A thì $\left\{\begin{array}{l}m-1\ge -1\\ m+5\le 7\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m\ge 0\\ m\le 2\end{array}\right.$ ⇔ 0 ≤ m ≤ 2.

Vậy với m thỏa mãn 0 ≤ m ≤ 2 thì B ⊂ A.

b) Để A ∩ B = $\varnothing$ thì $\left[\begin{array}{l}m-1\ge 7\\ m+5\le -1\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}m\ge 8\\ m\le -6\end{array}\right.$

Vậy với m thỏa mãn m ≤ – 6 hoặc m ≥ 8 thì A ∩ B = $\varnothing$.

Bài 38 trang 16 SBT Toán 10 Tập 1: Cho A = [m; m + 2] và B = [n; n + 1] với m, n là các tham số thực. Tìm điều kiện của các số m và n để tập hợp A ∩ B chứa đúng một phần tử.

Lời giải:

Để tập hợp A ∩ B chứa đúng một phần tử thì $\left[\begin{array}{l}m+2=n\\ m=n+1\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}m=n-2\\ m=n+1\end{array}\right.$.

Vậy với m= n – 2 hoặc m = n + 1 thì tập hợp A ∩ B chứa đúng một phần tử.

Bài 39 trang 16 SBT Toán 10 Tập 1: Cho A = (– ∞; m + 1), B = [3; +∞) với m là một tham số thực. Tìm m để:

a) A ∪ B = ℝ;

b) A ∩ B chứa đúng 5 số nguyên.

Lời giải:

a) Để A ∪ B = ℝ thì m + 1 ≥ 3 ⇔ m ≥ 2.

Vậy với m ≥ 2 thì A ∪ B = ℝ.

b) Để A ∩ B ≠ $\varnothing$ thì m + 1 ≥ 3 ⇔ m ≥ 2 (1)

Khi đó A ∩ B = [3; m + 1)

Để tập hợp A ∩ B chứa đúng 5 số nguyên thì 7 < m + 1 ≤ 8 ⇔ 6 < m ≤ 7 (2)

Kết hợp (1) và (2) ta được 6 < m ≤ 7.

Vậy với 6 < m ≤ 7 thì A ∩ B chứa đúng 5 số nguyên.

Bài 40 trang 16 SBT Toán 10 Tập 1: Biểu diễn tập hợp A = {x ∈ ℝ| x² ≥ 9} thành hợp các nửa khoảng.

Lời giải:

Xét bất phương trình x² ≥ 9

⇔ |x| ≥ 3

⇔ $\left[\begin{array}{l}x\ge 3\\ x\le -3\end{array}\right.$

Suy ra A = {x ∈ ℝ| x ≤ –3 hoặc x ≥ 3} = (–∞; – 3] ∪ [3; +∞).

Vậy A = (–∞; – 3] ∪ [3; +∞).