Giải sách bài tập Toán lớp 10 Bài 4: Tổng và hiệu của hai vectơ

Bài 32 trang 92 SBT Toán 10 Tập 1: Cho ba điểm M, N, P phân biệt. Phát biểu nào sau đây là đúng?

Lời giải:

Đáp án đúng là C

Ta có: $\overrightarrow{MN}-\overrightarrow{NP}=\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{PN}$$=\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{MK}=\overrightarrow{MH}\ne \overrightarrow{MP}$ (H, K là điểm thỏa mãn MKHN là hình bình hành). Do đó A sai.

Ta có: $-\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{NP}=\overrightarrow{NM}+\overrightarrow{NP}=\overrightarrow{NT}\ne \overrightarrow{MP}$(T là điểm MNPT là hình bình hành). Do đó B sai

Ta có: $\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{NP}=\overrightarrow{MP}$ (quy tắc ba điểm). Do đó C đúng.

Ta có: $\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{NP}=\overrightarrow{MP}\ne -\overrightarrow{MP}$. Do đó D sai.

Bài 33 trang 92 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tứ giác ABCD là hình bình hành. Khẳng định nào sau đây đúng?

Lời giải:

Đáp án đúng là A

Ta có: $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{CB}$$=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CA}$. Do đó A đúng.

Ta có: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\ne \overrightarrow{AD}$. Do đó B sai.

Ta có: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}\ne \overrightarrow{CA}$. Do đó C sai.

Ta có: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\ne -\overrightarrow{AC}$. Do đó D sai.

Bài 34 trang 92 SBT Toán 10 Tập 1: Cho các điểm A, B, O. Khẳng định nào sau đây đúng?

Lời giải:

Đáp án đúng là B

Cho các điểm A, B, O. Khẳng định nào sau đây đúng?

Ta có:  $\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{BO}$$=\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{BA}\ne \overrightarrow{AB}$. Do đó A sai.

Ta có: $\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{AO}$$=\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{AB}$. Do đó B đúng.

Ta có: $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OC}\ne \overrightarrow{AB}$ (C là điểm thỏa mãn OBCA là hình bình hành). Do đó C sai.

Ta có: $\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OC}\ne \overrightarrow{AB}$(C là điểm thỏa mãn OBCA là hình bình hành). Do đó D sai.

Bài 35 trang 92 SBT Toán 10 Tập 1: Cho ba điểm A, B, M phân biệt. Điều kiện cần và đủ để M là trung điểm của đoạn thẳng AB là:

A. $\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{MB}$.

B. $\left|\overrightarrow{MA}\right|=\left|\overrightarrow{MB}\right|$.

C. $\overrightarrow{MA},\overrightarrow{MB}$ ngược hướng.

D. $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}$.

Lời giải:

Đáp án đúng là D

M là trung điểm của đoạn thẳng AB thì MA = MB và $\overrightarrow{MA},\overrightarrow{MB}$ ngược hướng.

⇒ $\overrightarrow{MA}=-\overrightarrow{MB}$ hay $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}.$

Vậy điều kiện đủ đề M là trung điểm của đoạn thẳng AB là $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}.$

Bài 36 trang 92 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC. Điều kiện cần và đủ để G là trọng tâm của tam giác ABC là:

Lời giải:

Đáp án đúng là B

Điều kiện cần và đủ để G là trọng tâm của tam giác ABC là $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$

⇔ $\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=-\overrightarrow{GA}$

⇔ $\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{AG}$

Bài 37 trang 92 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tứ giác ABCD, O là trung điểm của AB. Chứng minh: $\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}.$

Lời giải:

Ta có: 

Bài 38 trang 92 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 4a, AC = 5a. Tính:

a) $\left|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\right|$;

b) $\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right|$.

Lời giải:

a) Xét tam giác ABC vuông tại A, có:

BC² = AB² + AC² (định lí pythagoras)

⇔ BC² = (4a)² + (5a)² = 41a²

⇔ BC = $\sqrt{41}$a.

Ta có:

$$\begin{gathered} \overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CA} \\ =\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CB} \end{gathered}$$

⇒ $\left|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\right|=\left|\overrightarrow{CB}\right|=\sqrt{41}a$.

Vậy $\left|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\right|=\sqrt{41}a$.

b) Lấy điểm D là điểm thỏa mãn ABDC là hình chữ nhật nên AD = BC (tính chất hình hình chữ nhật).

Ta có: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AD}$ (quy tắc hình bình hành)

⇒ $\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right|=\left|\overrightarrow{AD}\right|=\left|\overrightarrow{CB}\right|=\sqrt{41}a$.

Vậy $\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right|=\sqrt{41}a.$

Bài 39 trang 92 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác đều ABC cạnh a. Tính:

Lời giải:

a) Ta có: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$ (quy tắc 3 điểm)

 ⇒ $\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\right|=\left|\overrightarrow{AC}\right|=AC=a$

Vậy $\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\right|=a$.

b) Ta có: 

$$\begin{gathered} \overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CA} \\ =\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CB} \end{gathered}$$

 ⇒ $\left|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\right|=\left|\overrightarrow{CB}\right|=CB=a$.

Vậy $\left|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\right|=a$.

c) Gọi D là điểm thỏa mãn ABDC là hình bình hành, M là trung điểm của BC.

Khi đó: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AD}$

⇒ $\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right|=\left|\overrightarrow{AD}\right|$.

Xét tam giác ABC, có AM là đường trung tuyến nên AM là đường cao

⇒ AM = $\frac{a\sqrt{3}}{2}$

⇒ AD = 2AM = 2.$\frac{a\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{3}$.

⇒ $\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right|=\left|\overrightarrow{AD}\right|=a\sqrt{3}$.

Vậy $\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right|=a\sqrt{3}$.

Bài 40 trang 92 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC thỏa mãn $\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right|=\left|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\right|$. Chứng minh tam giác ABC vuông tại A.

Lời giải:

Gọi D là điểm thỏa mãn ABDC là hình bình hành.

Khi đó, ta có: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AD}$  

⇒ $\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right|=\left|\overrightarrow{AD}\right|=AD$

Ta lại có: $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{CB}$

⇒ $\left|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\right|=\left|\overrightarrow{CB}\right|=CB$

Mà $\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right|=\left|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\right|$ nên AD = CB.

Hình bình hành ABCD có AB = CB nên ABCD là hình chữ nhật. Do đó tam giác ABC vuông tại A.

Cho hai vectơ $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}$ khác $\overrightarrow{0}$. Chứng minh rằng nếu hai vectơ cùng hướng thì $\left|\overrightarrow{a}\right|+\left|\overrightarrow{b}\right|=\left|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right|$.

Lời giải:

Không mất tính tổng quát ta lấy một điểm A bất kì, vẽ $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{b}$

Vì hai vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ cùng hướng nên A, B, C thẳng hàng, B nằm giữa A và C.

Ta có:

Bài 42 trang 93 SBT Toán 10 Tập 1: Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính $\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right|$.

Lời giải:

Lấy E là điểm thỏa mãn ABEC là hình bình hành, gọi M là trung điểm của BC.

Khi đó ta có:

$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AE}$

⇒ $\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right|=\left|\overrightarrow{AE}\right|=AE$

Vì M là trung điểm của BC nên M là trung điểm của AE

⇒ AE = 2AM.

Xét tam giác ABM vuông tại B, có:

AM² = AB² + BM² (định lí pythagoras)

Bài 43 trang 93 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tứ giác ABCD là hình bình hành. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo, E là trung điểm của AD, G là giao điểm của BE và AC. Tính:

Lời giải:

a) Xét hình bình hành ABCD, có O là giao điểm của AC và BD nên O là trung điểm của AC và O là trung điểm của BD.

b) Xét tam giác ABD, có:

AO là trung tuyến, BE là đường trung tuyến

Mà AO giao với BE tại G nên G là trọng tâm tam giác ABD

⇒ $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{0}$

Vậy $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{0}$.

Bài 44 trang 93 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp các điểm M trong mặt phẳng thỏa mãn $\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}\right|=\left|\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AM}\right|$.

Lời giải:

Ta có: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{AM}$

⇒ $\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}\right|=\left|\overrightarrow{AM}\right|=AM$

Ta lại có: $\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{MC}$

⇒ $\left|\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AM}\right|=\left|\overrightarrow{MC}\right|=MC$

Vì $\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}\right|=\left|\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AM}\right|$ nên AM = MC

Tập hợp điểm M thỏa mãn AM = MC là đường trung trực của đoạn thẳng AC.

Vậy tập hợp điểm M thỏa mãn điều kiện đầu bài là đường trung trực của đoạn thẳng AC.

Bài 45 trang 93 SBT Toán 10 Tập 1: Cho hai tam giác ABC và A’B’C’ có cùng trọng tâm là G. Chứng minh $\overrightarrow{\text{AA}\text{'}}+\overrightarrow{BB\text{'}}+\overrightarrow{CC\text{'}}=\overrightarrow{0}$.

Lời giải:

Ta có: 

$\overrightarrow{\text{AA}\text{'}}+\overrightarrow{BB\text{'}}+\overrightarrow{CC\text{'}}=\overrightarrow{\text{AG}}+\overrightarrow{GA\text{'}}+$$\overrightarrow{BG}+\overrightarrow{GB\text{'}}+\overrightarrow{CG}+\overrightarrow{GC\text{'}}$

Bài 46 trang 93 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác nhọn ABC có các cạnh đôi một khác nhau. Gọi H, O lần lượt là trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác, D là điểm đối xứng với H qua O. Chứng minh rằng: $\overrightarrow{HA}+\overrightarrow{HB}+\overrightarrow{HC}=\overrightarrow{HD}$.

Lời giải:

Vẽ đường kính AE

Ta có: $\widehat{ACE}=90°$ nên AC ⊥ EC

Mà BH ⊥ EC

⇒ BH // AC (1)

Ta lại có:$\widehat{ABE}=90°$ và AB ⊥ BE

Mà CH ⊥ AB

⇒ BE // CH (2)

Từ (1) và (2) suy ra BHEC là hình bình hành

Xét tứ giác AHDE, có:

O là trung điểm của HD (gt)

O là trung điểm của AE

Do đó AHDE là hình bình hành

Khi đó, ta có:

$$\begin{gathered} \overrightarrow{HA}+\overrightarrow{HB}+\overrightarrow{HC} \\ =\overrightarrow{HA}+\left(\overrightarrow{HB}+\overrightarrow{HC}\right) \\ =\overrightarrow{HA}+\overrightarrow{HE}=\overrightarrow{HD} \end{gathered}$$