Giải sách bài tập Toán lớp 10 Bài 6: Tích vô hướng của hai vectơ

Bài 57 trang 105 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC. Giá trị của $\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{CA}$ bằng:

A. AB . AC . cos$\widehat{BAC}$.

B. – AB . AC . cos$\widehat{BAC}$.

C. AB . AC . cos$\widehat{ABC}$.

D. AB . AC . cos$\widehat{ACB}$.

Lời giải:

Đáp án đúng là A

Xét tam giác ABC, có:

$$\begin{gathered} \overrightarrow{BA}.\overrightarrow{CA}=\left(-\overrightarrow{AB}\right).\left(-\overrightarrow{AC}\right) \\ =BA.CA.c\text{os}\left(-\overrightarrow{AB},-\overrightarrow{AC}\right) \end{gathered}$$

= $BA.CA.c\text{os}\widehat{BAC}$

= $BA.CA.c\text{os}\left(\widehat{BAC}\right)$

Vậy chọn A.

Bài 58 trang 105 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC. Giá trị của $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}$ bằng:

A. AB . BC . cos$\widehat{ABC}$.

B. AB . AC . cos$\widehat{ABC}$.

C. – AB . BC . cos$\widehat{ABC}$.

D. AB . BC . cos$\widehat{BAC}$.

Lời giải:

Đáp án đúng là A

$$\begin{gathered} \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}=-\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC} \\ =-AB.BC.\cos \left(-\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC}\right) \end{gathered}$$

= $-AB.BC.\cos \left(180°-\widehat{ABC}\right)$

= $AB.BC.\cos \widehat{ABC}$.

Vậy chọn A.

Bài 59 trang 105 SBT Toán 10 Tập 1: Cho đoạn thẳng AB. Tập hợp các điểm M nằm trong mặt phẳng thỏa mãn $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=0$ là:

A. Đường tròn tâm A bán kính AB.

B. Đường tròn tâm B bán kính AB.

C. Đường trung trực của đoạn thẳng AB.

D. Đường tròn đường kính AB.

Lời giải:

Đáp án đúng là D

Ta có: $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=0$

⇒ $\widehat{\left(\overrightarrow{MA};\overrightarrow{MB}\right)}=\widehat{AMB}=90°$

Do đó tập hợp các điểm M thỏa mãn $\widehat{AMB}=90°$ là đường tròn đường kính AB.

Bài 60 trang 105 SBT Toán 10 Tập 1: Nếu hai điểm M và N thỏa mãn $\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{NM}=-9$ thì:

A. MN = 9.

B. MN = 3.

C. MN = 81.

D. MN = 6.

Lời giải:

Đáp án đúng là B

Ta có: 

$$\begin{gathered} \overrightarrow{MN}.\overrightarrow{NM}=MN.MN.cos\left(\overrightarrow{MN},\overrightarrow{NM}\right) \\ =MN.MN.cos180°=-M{N}^2 \end{gathered}$$

Mà $\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{NM}=-9$ nên – MN² = – 9 ⇔ MN² = 9 ⇔ MN = 3 (thỏa mãn) hoặc MN = – 3 (không thỏa mãn).

Vậy MN = 3.

Bài 61 trang 105 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC đều cạnh a. Các điểm M, N lần lượt thuộc các tia BC và CA thỏa mãn $BM=\frac{1}{3}BC$, $CN=\frac{5}{4}CA$. Tính:

a) $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BN}$.

b) MN.

Lời giải:

a) Ta có: $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=AB.AC.cos\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)$

= $AB.AC.\cos \widehat{BAC}$

= $a.a.\cos 60°$

= $\frac{1}{2}{a}^2$

b)  Ta có: 

Bài 62 trang 106 SBT Toán 10 Tập 1: Cho hình thoi ABCD cạnh a và $\widehat{A}=120°$. Tính $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BC}$.

Lời giải:

$$\begin{gathered} \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BC}=\left(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}\right).\overrightarrow{AD} \\ ={\overrightarrow{AD}}^2+\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD} \\ ={\overrightarrow{AD}}^2+AB.AD.c\text{os}\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}\right) \end{gathered}$$

= a² + a.a.cos120°

= a² – $\frac{1}{2}$a² = $\frac{1}{2}$a².

Vậy $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BC}=\frac{1}{2}{a}^2.$

Bài 63 trang 106 SBT Toán 10 Tập 1: Cho bốn điểm A, B, C, D. Chứng minh $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{BC}=0$.

Lời giải:

$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{BC}=0$

$=\overrightarrow{AB}.\left(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC}\right)+$$\overrightarrow{AC}.\left(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}\right)+\overrightarrow{AD}.\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)$

$=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB}$$-\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{AB}$

$=\left(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{AB}\right)+$$\left(-\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB}\right)$$+\left(-\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{AC}\right)$

= 0

Bài 64* trang 106 SBT Toán 10 Tập 1: Cho hình vuông ABCD, M là trung điểm của BC, N là điểm nằm giữa hai điểm A và C. Đặt x = $\frac{AN}{AC}$. Tìm x thỏa mãn AM ⊥ BN.

Lời giải:

Gọi a là độ dài cạnh của hình vuông ABCD

Vì M là trung điểm của BC nên ta có:

$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AM}$

⇔ $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{BM}-\overrightarrow{BA}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BA}$

Ta lại có:

$$\begin{gathered} \overrightarrow{BN}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AN}=-\overrightarrow{AB}+x\overrightarrow{AC} \\ =-\overrightarrow{AB}+x\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\right)=(1-x)\overrightarrow{BA}+x\overrightarrow{BC} \end{gathered}$$

⇒ $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BN}=\left(\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BA}\right)$$\left[(1-x)\overrightarrow{BA}+x\overrightarrow{BC}\right]$

⇔  $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BN}=\frac{1}{2}(1-x)\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{BA}+$$\frac{1}{2}x{\overrightarrow{BC}}^2-\left(1-x\right){\overrightarrow{BA}}^2-x\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}$

⇔ $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BN}=\frac{1}{2}x.a^2-\left(1-x\right)a^2$

⇔ $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BN}=\left(\frac{3}{2}x-1\right)a^2$

Để AM vuông góc với BN thì $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BN}=0$

⇔ $\left(\frac{3}{2}x-1\right)a^2=0$

⇔ $\frac{3}{2}x-1=0$

⇔ $x=\frac{2}{3}$

Vậy với $x=\frac{2}{3}$ thì AM ⊥ BN.

Bài 65 trang 106 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC và G là trọng tâm tam giác. Với mỗi điểm M, chứng minh MA² + MB² + MC² = 3MG² + GA² + GB² + GC².

Lời giải:

Ta có: MA² + MB² + MC² = ${\overrightarrow{MA}}^2+{\overrightarrow{MB}}^2+{\overrightarrow{MC}}^2$

= ${\left(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA}\right)}^2+{\left(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GB}\right)}^2+{\left(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GC}\right)}^2$

= ${\overrightarrow{MG}}^2+2.\overrightarrow{MG}.\overrightarrow{GA}+{\overrightarrow{GA}}^2+{\overrightarrow{MG}}^2$$+2\overrightarrow{MG}.\overrightarrow{GB}+{\overrightarrow{GB}}^2+{\overrightarrow{MG}}^2$$+2\overrightarrow{MG}.\overrightarrow{GC}+{\overrightarrow{GC}}^2$

= $3{\overrightarrow{MG}}^2+\left({\overrightarrow{GA}}^2+{\overrightarrow{GB}}^2+{\overrightarrow{GC}}^2\right)+$$\left(2.\overrightarrow{MG}.\overrightarrow{GA}+2\overrightarrow{MG}.\overrightarrow{GB}+2\overrightarrow{MG}.\overrightarrow{GC}\right)$

= $3M{G}^2+\left(G{A}^2+G{B}^2+G{C}^2\right)$$+2.\overrightarrow{MG}\left(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}\right)$

= $3M{G}^2+\left(G{A}^2+G{B}^2+G{C}^2\right)$.

Bài 66 trang 106 SBT Toán 10 Tập 1: Một máy bay đang bay từ hướng đông sang hướng tây với tốc độ 650km/h thì gặp luồng gió thổi từ hướng đông bắc sang hướng tây nam với tốc độ 35km/h. Máy bay bị thay đổi vận tốc đầu khi gặp gió thổi. Tìm tốc độ mới của máy bay (làm tròn kết quả đến hàng phần mười theo đơn vị km/h).

Lời giải:

Gọi $\overrightarrow{v_0}$ là vận tốc của máy bay, $\overrightarrow{v_1}$là vận tốc của gió.

Khi đó ta có: $\left|\overrightarrow{v_0}\right|=650$, $\left|\overrightarrow{v_1}\right|=35$, $\left(\overrightarrow{v_0};\overrightarrow{v_1}\right)=45°$

Tốc độ mới của máy bay là $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{v_0}+\overrightarrow{v_1}$ 

⇔ v = 675,2 km/h.