Giải sách bài tập Toán lớp 10 Bài 3: Dấu của tam thức bậc hai

Bài 20 trang 52 SBT Toán 10 Tập 1: Trong các phát biểu sau, phát biểu nào sai?

A. x² – x – 2 > 0 khi và chỉ khi x ∈ (– ∞ ; –1)∪(2 ; +∞).

B. x² – x – 2 ≤ 0 khi và chỉ khi x ∈ [–1 ; 2].

C. x² – x – 2 < 0 khi và chỉ khi x ∈ (–1 ; 2).

D. x² – x – 2 ≥ 0 khi và chỉ khi x ∈ (– ∞; –1)∪(2; +∞).

Lời giải

Đáp án đúng là D

Xét biểu thức f(x) x² – x – 2 là tam thức bậc hai, có a = 1 > 0 và (– 1)² – 4.1.(– 2) = 9 > 0.

Do đó tam thức có hai nghiệm phân biệt x₁ = – 1 và x₂ = 2.

Theo định lí về dấu tam thức bậc hai ta có:

f(x) > 0 khi x ∈ (– ∞ ; –1)∪(2 ; +∞);

f(x) < 0 khi x ∈ (–1 ; 2);

f(x) = 0 khi x = – 1 hoặc x = 2.

Do đó A, B, C đúng còn D sai.

Bài 21 trang 52 SBT Toán 10 Tập 1: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị ở Hình 15.

Trong các phát biểu sau, phát biểu nào sai?

A. f(x) < 0 khi và chỉ khi x ∈ (1 ; 3).

B. f(x) ≤ 0 khi và chỉ khi x ∈ (– ∞; 1]∪[3; +∞).

C. f(x) > 0 khi và chỉ khi x ∈ (1 ; 3).

D. f(x) ≥ 0 khi và chỉ khi x ∈ [1 ; 3].

Lời giải

Đáp án đúng là A

Dựa vào đồ thị hàm số ta nhận thấy:

Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm có hoành độ lần lượt là x = 1 và x = 3. Suy ra f(x) = 0 tại x = 1 hoặc x = 3.

Đồ thị hàm số nằm phía trên trục hoành khi x ∈ (1; 3). Suy ra f(x) > 0 khi x ∈ (1; 3).

Đồ thị hàm số nằm phía dưới trục hoành khi x ∈ (– ∞; 1) ∪ (3; +∞). Suy ra f(x) < 0 khi x ∈ (– ∞; 1) ∪ (3; +∞).

Vậy đáp án A sai.

Bài 22 trang 52 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam thức bậc hai f(x) = ax² + bx + c (a ≠ 0). Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng?

A. f(x) < 0 với mọi x khi và chỉ khi a < 0 và ∆ ≤ 0.

B. f(x) < 0 với mọi x khi và chỉ khi a < 0 và ∆ < 0.

C. f(x) ≤ 0 với mọi x khi và chỉ khi a > 0 và ∆ < 0.

D. f(x) ≤ 0 với mọi x khi và chỉ khi a > 0 và ∆ ≤ 0.

Lời giải

Đáp án đúng là B

Theo định lí dấu của tam thức bậc hai ta có:

Tam thức bậc hai f(x) < 0 với mọi x khi và chỉ khi a < 0 và ∆ < 0.

Tam thức bậc hai f(x) ≤ 0 với mọi x khi và chỉ khi a < 0 và ∆ ≤ 0.

Tam thức bậc hai f(x) > 0 với mọi x khi và chỉ khi a > 0 và ∆ < 0.

Tam thức bậc hai f(x) ≥ 0 với mọi x khi và chỉ khi a > 0 và ∆ ≤ 0.

Vậy đáp án đúng là B

Bài 23 trang 52 SBT Toán 10 Tập 1: Lập bảng xét dấu với mỗi tam thức bậc hai sau:

a) f(x) = 3x² – 7x + 4;

b) f(x) = 25x² + 10x + 1;

c) f(x) = 3x² – 2x + 8;

d) f(x) = – 2x² + x + 3;

e) f(x) = – 3x² + 6x – 3;

f) f(x) = – 5x² + 2x – 4.

Lời giải

a) Xét tam thức bậc hai f(x) = 3x² – 7x + 4 , có a = 3 > 0 và ∆ = (– 7)² – 4.3.4 = 1 > 0.

Suy ra tam thức có hai nghiệm phân biệt x = 1 và x = $\frac{4}{3}$.

Khi đó ta có bảng xét dấu sau:

b) Xét tam thức bậc hai f(x) = 25x² + 10x + 1, có a = 25 > 0 và ∆ = 10² – 4.25.1 = 0.

Suy ra tam thức có nghiệm kép x = $-\frac{1}{5}$.

Khi đó ta có bảng xét dấu sau:

c) Xét tam thức bậc hai f(x) = 3x² – 2x + 8, có a = 3 > 0 và ∆ = (– 2)² – 4.3.8 = – 92 < 0.

Suy ra tam thức vô nghiệm.

Khi đó ta có bảng xét dấu sau:

d) Xét tam thức bậc hai f(x) = – 2x² + x + 3, có a = – 2 < 0 và ∆ = 1² – 4.(– 2).3 = 25 > 0.

Suy ra tam thức có hai nghiệm phân biệt x = – 1 và x = $\frac{3}{2}$.

Khi đó ta có bảng xét dấu sau:

e) Xét tam thức bậc hai f(x) = – 3x² + 6x – 3, có a = – 3 < 0 và ∆ = 6² – 4.(– 3).(– 3) = 0.

Suy ra tam thức có nghiệm kép x = 1.

Khi đó ta có bảng xét dấu sau:

f) Xét tam thức bậc hai f(x) = – 5x² + 2x – 4, có a = – 5 < 0 và ∆ = 2² – 4.(– 5).(– 4) = – 76 < 0.

Suy ra tam thức vô nghiệm

Khi đó ta có bảng xét dấu sau:

Bài 24 trang 52 SBT Toán 10 Tập 1: Tìm m để tam thức f(x) = – x² – 2x + m – 12 không dương với mọi x ∈ ℝ.

Lời giải

Tam thức f(x) = – x² – 2x + m – 12 không dương với mọi x ∈ ℝ nghĩa là f(x) ≤ 0 với mọi x ∈ ℝ.

Xét tam thức f(x) = – x² – 2x + m – 12, có a = – 1 < 0 và ∆ = (– 2)² – 4.(– 1)(m – 12) = 4m – 44.

Vì a = – 1 < 0 nên để f(x) ≤ 0 với mọi x ∈ ℝ ⇔ ∆ ≤ 0

⇔ 4m – 44 ≤ 0

⇔ 4m ≤ 44

⇔ m ≤ 11

Vậy với m ≤ 11 thì tam thức f(x) = – x² – 2x + m – 12 không dương với mọi x ∈ ℝ.

Bài 25 trang 52 SBT Toán 10 Tập 1: Với giá trị nào của tham số m thì hàm số y = $\sqrt{2x^2-5x+3m-2}$có tập xác định là ℝ.

Lời giải

Điều kiện xác định của hàm số đã cho là 2x² – 5x + 3m – 2 ≥ 0.

Để tập xác định là ℝ thì 2x² – 5x + 3m – 2 ≥ 0 với mọi x ∈ ℝ.

Xét f(x) = 2x² – 5x + 3m – 2 là tam thức bậc hai có a = 2 > 0 và ∆ = (– 5)² – 4.2.(3m – 2) = 41 – 24m.

Để f(x) > 0 với mọi x ∈ ℝ thì a > 0 và ∆ < 0

Vì a = 2 > 0 là luôn đúng nên chỉ cần ∆ < 0 ⇔ 41 – 24m < 0 ⇔ – 24m < – 41 ⇔ m > $\frac{41}{24}$.

Vậy với m > $\frac{41}{24}$ thì hàm số y = $\sqrt{2x^2-5x+3m-2}$ có tập xác định là ℝ.

Bài 26 trang 52 SBT Toán 10 Tập 1: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số $y=\frac{1}{\sqrt{x^2-4x+6m-1}}$có tập xác định là ℝ.

Lời giải

Điều kiện xác định của hàm số $y=\frac{1}{\sqrt{x^2-4x+6m-1}}$ là x² – 4x + 6m – 1 > 0.

Để tập xác định là ℝ thì x² – 4x + 6m – 1 > 0 với mọi x ∈ ℝ.

Xét f(x) = x² – 4x + 6m – 1, có a = 1 > 0 và ∆ = (– 4)² – 4.1.(6m – 1) = 20 – 24m.

Vì a > 0 nên để f(x) > 0 thì ∆ < 0 ⇔ 20 – 24m < 0 ⇔ – 24m < – 20 ⇔ m > $\frac{5}{6}$.

Vậy với m > $\frac{5}{6}$ thì hàm số $y=\frac{1}{\sqrt{x^2-4x+6m-1}}$có tập xác định là ℝ.

Bài 27 trang 52 SBT Toán 10 Tập 1: Bộ phận nghiên cứu thị trường của một xí nghiệp xác định tổng chi phí để sản xuất Q sản phẩm là Q² + 200Q + 180 000 (nghìn đồng). Giả sử giá mỗi sản phẩm bán ra thị trường là 1 300 nghìn đồng.

a) Xác định lợi nhuận xí nghiệp thu được sau khi bán hết Q sản phẩm đó, biết rằng lợi nhuận là hiệu của doanh thu trừ đi tổng chi phí để sản xuất.

b) Xí nghiệp cần sản xuất bao nhiêu sản phẩm để không bị lỗ? Biết rằng các sản phẩm được sản xuất ra đều bán hết.

Lời giải

a) Doanh thu khi bán Q sản phẩm là: 1 300.Q (nghìn đồng).

Lợi nhuận xí nghiệp thu được khi bán hết Q sản phẩm đó là:

1 300.Q – (Q² + 200Q + 180 000) = –Q² + 1 100Q – 180 000 (nghìn đồng).

Vậy lợi nhuận xí nghiệp thu được khi bán hết Q sản phẩm là –Q² + 1 100Q – 180 000 nghìn đồng.

b) Để xí nghiệp không bị lỗ thì lợi nhuận thu được phải lớn hơn hoặc bằng 0 hay

 –Q² + 1 100Q – 180 000 ≥ 0

Xét tam thức bậc hai  –Q² + 1 100Q – 180 000, có a = – 1 và ∆ = 1 100² – 4.(– 1).(– 180 000) = 490 000 > 0.

Do đó tam thức có hai nghiệm phân biệt Q₁ = 900 và Q₂ = 200.

Áp dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai, ta có:

–Q² + 1 100Q – 180 000 ≥ 0 thì Q ∈ [200; 900];

Vậy xí nghiệp cần sản xuất từ ít nhất 200 đến 900 sản phẩm để không bị lỗ.