Cho n > 2 là số nguyên dương thỏa mãn $3C_n^2 + 2A_n^2 = 3{n^2} - 5.$ Số hạng không chứa x trong khai triển ${\left( {2{x^3} - \frac{3}{{{x^2}}}} \right)^n},x \ne 0.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có

$3C_n^2 + 2A_n^2 = 3{n^2} - 5$

$\Leftrightarrow \frac{{3n!}}{{(n - 2)!2!}} + \frac{{2n!}}{{(n - 2)!}} = 3{n^2} - 5$

$\Leftrightarrow \frac{{3.n.(n - 1).(n - 2)!}}{{(n - 2)!.2}} + \frac{{2.n.(n - 1).(n - 2)!}}{{(n - 2)!}} = 3{n^2} - 5$

$\Leftrightarrow \frac{{3.n.(n - 1)}}{2} + 2.n.(n - 1) = 3{n^2} - 5$

$\Leftrightarrow 3{n^2} - 3n + 4{n^2} - 4n - 6{n^2} + 10 = 0$

$\Leftrightarrow {n^2} - 7n + 10 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 5\\n = 2\end{array} \right.$. Mà n > 2 nên n = 5.

Khi đó:

${\left( {2{x^3} - \frac{3}{{{x^2}}}} \right)^5} = {\left( {2{x^3} - 3{x^{ - 2}}} \right)^5}$

$= C_5^0.{\left( {2{x^3}} \right)^5} + C_5^1.{\left( {2{x^3}} \right)^4}.\left( { - 3{x^{ - 2}}} \right) + C_5^2.{\left( {2{x^3}} \right)^3}.{\left( { - 3{x^{ - 2}}} \right)^2}$

$+ C_5^3.{\left( {2{x^3}} \right)^2}.{\left( { - 3{x^{ - 2}}} \right)^3} + C_5^4.{\left( {2{x^3}} \right)^1}.{\left( { - 3{x^{ - 2}}} \right)^4} + C_5^5.{\left( { - 3{x^{ - 2}}} \right)^5}$

$= {2^5}.{x^{15}} + {5.2^4}.{x^{12}}.( - 3).{x^{ - 2}} + {10.2^3}.{x^9}.{\left( { - 3} \right)^2}.{x^{ - 4}}$

$+ {10.2^2}.{x^6}.{\left( { - 3} \right)^3}.{x^{ - 6}} + 5.2{x^3}.{\left( { - 3} \right)^4}.\left( {{x^{ - 8}}} \right) + {\left( { - 3} \right)^5}.\left( {{x^{ - 10}}} \right)$

$= 32.{x^{15}} - 240.{x^{10}} + 720.{x^5}$$- 1080 + 810{x^{ - 5}} - 243.{x^{ - 10}}$

Vậy số hạng không chứa x trong khai triển là –1 080.