Nếu góc giữa hai đường thẳng d₁: x + 2y – 7 = 0 và d₂: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + 3t\\y = - 2 - mt\end{array} \right.\) bằng 30° thì m gần nhất với giá trị nào sau đây?

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

⦁ Đường thẳng d₁ có vectơ pháp tuyến \({\vec n_1} = \left( {1;2} \right)\).

Suy ra đường thẳng d₁ có vectơ chỉ phương \({\vec u_1} = \left( {2; - 1} \right)\).

⦁ Đường thẳng d₂ có vectơ chỉ phương \({\vec u_2} = \left( {3; - m} \right)\).

Theo đề, ta có góc giữa hai đường thẳng d₁ và d₂ bằng 30°.

⇔ cos(d₁, d₂) = cos30°

\( \Leftrightarrow \frac{{\left| {2.3 - 1.\left( { - m} \right)} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} .\sqrt {{3^2} + {{\left( { - m} \right)}^2}} }} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)

\( \Leftrightarrow \frac{{\left| {m + 6} \right|}}{{\sqrt {{m^2} + 9} }} = \frac{{\sqrt {15} }}{2}\)

\( \Leftrightarrow 2\left| {m + 6} \right| = \sqrt {15\left( {{m^2} + 9} \right)} \)

⇔ 4(m + 6)² = 15(m² + 9)

⇔ 11m² – 48m – 9 = 0

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = \frac{{24 + 15\sqrt 3 }}{{11}} \approx 4,54\\m = \frac{{24 - 15\sqrt 3 }}{{11}} \approx - 0,18\end{array} \right.\]

Vậy m ≈ 4,54 hoặc m ≈ –0,18 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Do đó ta chọn phương án D.