Cho hai số phức $z_1,z_2$ thỏa mãn $z_1\ne z_2$ và ${z_1}^2-5z_1{z}_2+4{z_2}^2$. Gọi M, N lần lượt là điểm biểu diễn của số phức $z_1, \overline{z_2}$ thỏa mãn diện tích tam giác OMN bằng 12. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\left|2z_1-z_2\right|$ là

Cho hàm số y=f(x) có đồ thị như hình vẽ. Số nghiệm của phương trình 2|f(x)|-5=0 là:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhậtAB=a, BC=2a, SA=a  và SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Côsin của góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng (SAC) bằng

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu $\left(S_1\right):{\left(x-1\right)}^2 +y^2 +{\left(z-2\right)}^2=1$ và điểm I(3;-1;4). Phương trình của mặt cầu (S) có tâm I và tiếp xúc ngoài với mặt cầu (S₁) là

Tập nghiệm S của bất phương trình $\ln \left(x^2+1\right)-\ln \left(2x+4\right)>0$.

Cho hàm số $y= \frac{x-2 }{\sqrt{2x^2+1}-3}$. Tổng số đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị đã cho là

Đặt $a={\log }_{2}5, b={\log }_{5}3$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Cho phần vật thể (H) được giới hạn bởi hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với trục Ox tại x=0;x=3. Cắt phần vật thể (H) bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ bằng x ($0\le x\le 3$ ) ta được thiết diện là hình chữ nhật có kích thước lần lượt là x và $\sqrt{3-x}$. Thể tích phần vật thể (H) bằng

Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm liên tục trên $\mathrm{ℝ}$ và đồ thị hàm số y=f'(x) như hình vẽ bên. Bất phương trình $f\left(x\right)\le 3^x-2x+m$ có nghiệm trên $(-\infty ;1]$ khi và chỉ khi

Cho hàm số f(x) liên tục trên $\mathrm{ℝ}$ thỏa mãn $f\left(2x\right)=3f\left(x\right),\forall x\in \mathrm{ℝ}$. Biết rằng ${\int }_0^{1}f\left(x\right)dx=1$. Tính tích phân ${\int }_1^{2}f\left(x\right)dx$.

Cho cấp số nhân (u_n). Biết tổng ba số hạng đầu bằng 4, tổng của số hạng thứ tư, thứ năm và thứ sáu bằng -32. Số hạng tổng quát của cấp số nhân là

Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình vuông cạnh bằng a. Gọi M là trung điểm SA. Biết hình chiếu vuông góc của S trùng với trọng tâm G của tam giác ACD, góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng đáy bằng 60^o. Khoảng cách từ M đến mặt phẳng (SBC) bằng

Cho các số thực a, b thỏa mãn đẳng thức $2a+3+\left(3b-2i\right)i=4-3i$ với i là đơn vị ảo. Giá trị biểu thức P=a+b bằng

Cho số phức z thỏa mãn $\left|z-4+\overline{z}+\right|+\left|z-\overline{z}\right|\ge 4$ và số phức $w=\left(z-2i\right)\left(\overline{z}i+2-4i\right)$ có phần ảo là số thực không dương. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, hình phẳng (H) là tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z. Diện tích hình (H) gần nhất với số nào sau đây?

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $d:\frac{x+1}{2}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z-2}{-1}$. Gọi $\left(\alpha \right)$ là mặt phẳng chứa đường thẳng d và tạo với mặt phẳng (Oxy) một góc nhỏ nhất. Khoảng cách từ M(0;-3;4) đến mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ bằng

Cho khối chóp tam giác S.ABC có $SA=\frac{a}{2}$, đáy là tam giác ABC vuông cân tại A, AB=AC=a. Thể tích khối chóp đã cho bằng